专题48 与正方形有关的其他类型问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题48  与正方形有关的其他类型问题

【规律总结】

【典例分析】

例1．（2020·重庆市第一一〇中学校九年级期中）如图，边长为的正方形纸片ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DE折叠，点C落在对角线BD上的点F处，连接CF；再把正方形ABCD沿着CO折叠，点F落在BD的点G处，连接CG交折痕DE于点H，则△CEH的面积为（　　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

首先由折叠得DF=CD=，再求出OF=-1，再由折叠得∠FCO=∠EDF=∠CDE，∠FOC=∠CED=90°可证△COF∽△DEC，得到比例式，可得，最后根据三角形面积公式求解即可．

【详解】

解：∵沿直线DE折叠，点C落在对角线BD上的点F处，

∴△FDE≌△CDE

∴DF=CD=

∵△ODC为等腰直角三角形，

∴OD=OC=1

∴OF=-1

由2次折叠可得，∠FOC=∠CED=90°，∠CDE=∠FDE，

如图可知，∠1=∠2

易得∠FCO=∠EDF=∠CDE，

∴△COF∽△DEC

∴

∵，，CF=2CE

∴

∴

∴,

∵△CFH中，∠CEH=90°，∠ECH=45°

∴CE=EH

∴

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了正方形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解答此题的关键．

例2．（2019·四川绵阳市·东辰国际学校八年级月考）如图，正方形中，点是边异于点，的一点，的垂直平分线分别交、、于、、，连接、.下论：①；②；③；④，其中正确的结论有_____.

【答案】①②④

【分析】

作FG⊥AB于G，根据三角形的全等得出△ABM≌△FGE，进而得出EF=AM，再利用矩形的性质可得出AE=DF+BM；再利用等腰直角三角形的性质以及全等三角形的性质，判断出线段之间的关系即可得出正确答案．

【详解】

如图，作于，

则，

∵，，

∴∠BAE+∠AEF=90°，∠GFE+∠AEF=90°，

∴，

在和中

，

∴，

∴，

故①正确；

由①可得：，，

∴；

故②正确；

如图，过作，，

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴BQ=QK，

∵BK2=BQ2+QK2，

∴，

故③错误；

∵平分，

∴，

又∵的垂直平分线交于，

∴，

在和中

，

∴，

∴，

又∵，

∴，

即，

故④正确；

故答案为：①②④．

【点睛】

此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，以及线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等是解决问题的关键．

例3．（2020·宜昌市第九中学九年级期中）如图1，正方形ABCD，E为平面内一点，且，把绕点B逆时针旋转得，直线AG和直线CE交于点F．

（1）证明：四边形BEFG是正方形；

（2）若，猜测CE和CF的数量关系，并说明理由；

（3）如图2，连接DF，若，，求DF的长．

【答案】（1）见解析；（2）CE=CF，理由见解析；（3）或

【分析】

（1）根据正方形的判定定理进行证明即可；

（2）证明≌得，AH=BG，再证明△DHG是等腰直角三角形，可得DH=BH=AG，最后由BEFG是正方形可得结论；

（3）分点F在AB右侧和左侧两种情况求解即可．

【详解】

解：（1）证明：，把绕点B逆时针旋转得，

，，，则，

，

四边形BEFG是正方形；

  （2），理由如下：

  过D点作，垂足为H，如图，

四边形ABCD是正方形，

，，

，

，，

，

在和中，

≌，

，

∵∠DGH=180°-∠AGD=45°

∴在Rt△DHG中，∠GDH=45°

∴DH=GH=AG

∴

又，，

，

；

（3）①点F在AB右侧时，如图，过D作DK⊥AG，交其延长线于K．

设正方形BEFG的边长为x，则，，

在中，，根据勾股定理可得，

，即，

解得，不符合条件，舍去，

即，，

∵四边形BEFG是正方形，

∴∠BAD=90°．

∵DK⊥AG，

∴∠K=90°．

∵∠BAG+∠KAD=180°—∠BAD=90°

∠ADK+∠KAD=90°

∴∠BAG=∠ADK

在Rt△ABG和Rt△DAK中，

所以Rt△ADK≌，

则AK=BG=12，DK=AG=5，

∵AF+FK=AK=BG=GF=AG+AF

∴FK=AG=5

在Rt△DFK中，根据勾股定理可得，

DF=

②点F在AB左侧时，如图，过D作DK⊥AG，交其延长线于K．

方法同①，可得FK=AG=12，

在Rt△DFK中，根据勾股定理可得，

DF=

综上所述，DF的长为或．

【点睛】

此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理是解本题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2021·上海九年级专题练习）如图，四边形是正方形，是的中点，连接与对角线相交于点，连接并延长，交于点，连接交于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（  ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2020·广东茂名市·九年级月考）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点，连接AF、DE交于点P，过B作BG∥DE交AD于G，BG与AF交于点M．对于下列结论：①AF⊥DE；②G是AD的中点；③∠GBP＝∠BPE；④S△AGM：S△DEC＝1：4．正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

3．（2020·成都七中万达学校九年级月考）如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接．当四边形为正方形时，______；若，则折叠后重叠部分的面积为______．

4．（2020·重庆九龙坡区·八年级期末）如图，点为正方形外一点，，连接，过作于，直线交于点，直线交直线于点．结论：①；②；③；④．则下列结论正确的是__________．（只填序号）

三、解答题

5．（2020·大竹县天城中学九年级期末）综合与实践—探究正方形旋转中的数学问题

问题情境：已知正方形ABCD中，点O在BC边上，且OB=2OC．将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′(点A′、B′、C′、D′分别是点A、B、C、D的对应点)．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．

特例分析：(1)“乐思”小组提出问题：如图1，当点B′落在正方形ABCD的对角线BD上时，设线段A′B′与CD交于点M．求证：四边形OB′MC是矩形；

(2)“善学”小组提出问题：如图2，当线段A′D′经过点D时，猜想线段C′O与D′D满足的数量关系，并说明理由；

深入探究：(3)请从下面A,B两题中任选一题作答：我选择        题．

A．在图2中连接AA′和BB′，请直接写出的值．

B．“好问”小组提出问题：如图3，在正方形ABC于点P，连接OP，并过点O作⊥BB′于点，请在图3中补全图形，并直接写出的值．

6．（2020·成都金苹果锦城第一中学八年级期中）四边形是正方形，是等腰直角三角形，，连接，为的中点，连接．

（1）如图1，若点在边的延长线上，直接写出与的位置关系及的值．

（2）将图1中的绕点顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）将图1中的绕点顺时针旋转，若，当三点共线时，请直接写出的长．