专题05 算式变化类-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

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专题05  算式变化类【规律总结】1．需要熟记的数字规律：（1）正整数：1,2,3，···，n（n≥1，且n为整数），前个数的和为；（2）奇数：1,3,5,7,9，··．，2n-1（n≥1，且n为整数），前n个数的和为；（3）偶数：2,4,6,8，···，2n（n≥1，且n为整数），前n个数的和为n（n＋1）．2．解决数字规律题的策略：具体策略：①分别观察分子、分母的特征；②注意相邻项的变化特征，如递增时可考虑以an＋b（a，b为常数）的形式递增或以，等形式递增；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值的特征； ⑤对于分式可考虑化异分母为同分母，还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于正负号交替出现的情况，可用或（n为正整数）来处理．3．等式变化规律题：（1）先找到等式左边变化特点；（2）再找打等式右边变化特点；（3）最后看看等式左右两边的内在联系；【典例分析】例1．（2020·河南洛阳市·九年级月考）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④．观察计算的结果，由发现的规律得出的值为（　　）A．351 B．350 C．325 D．300【答案】C【分析】通过计算前面4个式子的值，得到规律为从1开始的几个连续整数的立方和的算术平方根等于这几个连续整数的和，然后利用此规律求解．【详解】①＝1；②＝3＝1+2；③＝6＝1+2+3；④＝10＝1+2+3+4；∴＝1+2+3+…+25＝325．故选：C．【点睛】本题考查实数运算有关的规律问题，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．例2．（2020·浙江杭州市·七年级期末）观察下列算式：第1个算式：；第2个算式：；第3个算式：……按照上面的规律则第4个算式为：_________．第1个算式到第个算式结果的乘积是________．（用含的代数式表示）．【答案】        【分析】（1）根据已知算式得出第4个算术即可；（2）将结果乘积列式计算即可．【详解】（1）第4个算式为：，故答案为：；（2）由题意得：=，故答案为：．【点睛】此题考查代数式的计算规律探究，有理数的混合运算，发现式子的运算规律并运用规律解决问题是解题的关键．例3．（2020·浙江金华市·七年级期末）观察下列各式：；；；请根据这一规律计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）观察题中所给的三个等式，可知等式右边第一项的次数等于左边第二个括号内最高次项的次数加1，等式右边第二项均为1，据此可解；
（2）根据（1）中所得的规律，可将原式左边乘以（2-1），再按照（1）中规律计算即可．【详解】（1）；（2）．【点睛】本题考查了平方差公式和多项式乘法公式在计算中的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．  【好题演练】一、单选题1．（2020·太原市育英中学校七年级期中）观察下列等式：，，，…．按照此规律，式子可变形为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知等式归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】，，，归纳类推得：，其中n为正整数，则，故选：B．【点睛】本题考查了有理数运算的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．2．（2020·赵集中学七年级期中）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式；解答下列问题：请用上面得到的规律计算：（    ）A．901 B．900 C．961 D．625【答案】B【分析】观察图形和算式的变化发现规律，进而根据得到的规律计算即可．【详解】观察以下算式：发现规律：，∵2n-1=59解得n=30，∴，故选：B．【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，有理数的乘方．解题的关键是根据图形和算式的变化寻找规律．  二、填空题3．（2021·全国八年级）阅读下文，寻找规律，并填空：已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5观察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝___．【答案】1﹣xn+1【分析】根据平方差公式和已知条件特点，便可归纳出来即可．【详解】解：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝1﹣xn+1；故答案为：1﹣xn+1．【点睛】本题考查多项式乘多项式、规律型：数字的变化类、平方差公式，关键是根据题目找出规律是关键．4．（2020·甘肃张掖市·大成中学七年级期末）观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）=________【答案】【分析】先根据已知等式探索出变形规律，然后根据规律进行变形，计算有理数的乘法运算即可．【详解】解：由已知等式可知：，，，归纳类推得：，其中n为正整数，则，因此，，，，故答案为：．【点睛】此题考查的是有理数运算的规律题，根据已知等式探索出运算规律并应用是解题关键． 三、解答题5．（2020·四川省宜宾市第二中学校九年级月考）阅读下列简化过程：；；；……解答下列问题：（1）请用n（n为正整数）表示化简过程规律________；（2）计算；（3）设，，，比较a，b，c的大小关系．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】(1)根据已知可得：两个连续正整数算术平方根的和的倒数，等于分子分母都乘以这两个连续正整数算术平方根的差，化简得这两个连续正整数算术平方根的差；(2)利用分母有理化分别化简，再合并同类二次根式得解；(3)将a、b、c分别化简，比较结果即可．【详解】（1）．（2）．（3），，，，，又，，．【得解】此题考查代数式计算规律探究，分母有理化计算，根据例题掌握计算的规律并解决问题是解题的关键．6．（2021·广东潮州市·八年级期末）有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是； 对任何正整数，第个数与第个数的和等于（1）经过探究，我们发现：，，设这列数的第个数为，那么①；②，③，则               正确（填序号）．（2）请你观察第个数、第个数、第个数，猜想这列数的第个数可表示           （用含的式子表示），并且证明：第个数与第个数的和等于；（3）利用上述规律计算：的值．【答案】（1）②；（2），证明见解析；（3）【分析】（1）根据题干知道即可得到结果；
（2）根据题干中的规律总结出第 个数表示为，再分别表示出第n个和第n+1个数求和即可；
（3）根据题意发现每一项两分母之差为2，即通分后分子为2，故每一项乘以即可，再提取公因数合并各项计算即可．【详解】解：（1）∵，
∴；
故填： （2）第个数表示为：，                                    证明：第个数表示为：， 第个数表示为：                                                       （3）原式 【点睛】此题考查了有理数运算的规律观察能力，从已知题干中提取规律解题运算是关键．