专题68 开放探究类问题（2）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题68  开放探究类问题（2）

【规律总结】

这类试题不仅考查了学生观察、实验、类比、归纳、猜想、判断、探究等能力而且把解题的过程、考试的过程，变成了学生研究的过程，变成了探索规律、发现规律的过程。尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.

开放题常见的题型：

开放性试题从结构特征上看主要分为三类：条件开放题、结论开放题及条件和结论都开放的试题。开放题是相对于传统的封闭题而言的，其显著特征是问题的答案不唯一（开放性），并且在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索．

【典例分析】

例1．（2020·浙江温州市·八年级期末）“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连结，，，分别与，相交于点，．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先用已知条件利用SAS的三角形全等的判定定理证出△EAB≌△CAM，之后利用全等三角形的性质定理分别可得，，，然后设，继而可分别求出，，所以；易证Rt△ACB≌Rt△DCG（HL），从而得，然后代入所求数据即可得的值．

【详解】

解：∵在△EAB和△CAM中 ，

，

∴△EAB≌△CAM（SAS），

∴，

∴,

∴,

,

设，则，，，，

∴；

∵ 在Rt△ACB和Rt△DCG中，

，

Rt△ACB≌Rt△DCG（HL），

∴;

∴．

故选D．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性质定理等知识．

例2．（2020·北京市第十三中学分校七年级期中）定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”例如：不等式组：是：的“子集”．

（1）若不等式组：，，其中不等式组_________是不等式组的“子集”（填或）；

（2）若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是________；

（3）已知为互不相等的整数，其中，，下列三个不等式组：，，满足：是的“子集”且是的“子集”，则的值为__________；

（4）已知不等式组有解，且是不等式组的“子集”，请写出，满足的条件：________________．

【答案】A        -4       

【分析】

（1）先分别求出不等式组A、B的解集，再利用题目中的新定义判断即可；

（2）先求出不等式组的解集为，再根据定义可知不等式组的解集在的内部，即可得出a的值；

（3）先根据新定义求出a，b，c，d的值，再代入即可；

（4）先求出不等式组M的解集，再根据新定义解答即可．

【详解】

解：（1）∵的解集为：，的解集为：，的解集为：，

∴不等式组A是不等式组M的“子集”．

故答案为：A；

（2）∵不等式组的解集为，且不等式组的解集在的内部，

∴．

故答案为：；

（3）∵为互不相等的整数，其中，， ，，满足：是的“子集”且是的“子集”，

∴，

∴．

故答案为：-4；

（4）将不等式组M整理得：，

又∵不等式组M有解，

∴，

∵是不等式组的“子集”，

∴，即．

故答案为：．

【点睛】

本题考查的知识点是解一元一次不等式组，解此题的关键是理解不等式组子集的定义．

例3．（2020·四川成都市·树德中学九年级期中）如图1，四边形是正方形，G是边上的一个动点（点G与C，D不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段．线段的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4－6）且，，，，第（1）题①中得到C的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；

（3）在第（2）题图5中，连接、，且，，，求的值．

【答案】（1）①，．②，仍然成立．详见解析；（2）成立，不成立，详见解析；（3）．

【分析】

（1）①利用正方形的性质，证明，利用全等三角形的性质可得：BG=DE，∠CBG=∠CDE，再证明：∠EDC+∠DGO=90°，从而可得结论；②同①，先证明：，利用全等三角形的性质可得：，，再证明：，从而可得结论；

（2）利用矩形的性质，证明，可得：，再证明，从而可得结论；

（3）连接利用，结合勾股定理证明：，再把，，代入，即可得到答案．

【详解】

解：（1）①，．理由如下：如图1，

延长BG交DE于O，

∵四边形ABCD、CGFE是正方形，

∴BC=CD=AB，CG=CE，∠BCD=∠ECD=90°，

∵在和中

，

∴，

∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，

∵∠CBG+∠BGC=90°，

又∵∠DGO=∠BGC，

∴∠EDC+∠DGO=90°，

∴∠DOG=，

∴BG⊥DE，

即BG=DE，BG⊥DE；

②，仍然成立．

如图2，∵四边形、四边形都是正方形，

∴，，，

∴，

∵在与中，

∴，

∴，，

又∵，，

∴，

∴，

∴．

（2）成立，不成立．

如图5，∵四边形、四边形都是矩形，

且，，，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

又∵，，

∴，

∴，

∴．

显然：

（3）如图5，连接

∵，

∴，，，

∴，

又∵，，，，，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，正方形，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·河北九年级二模）在平面上，边长为的正方形和短边长为的矩形几何中心重合，如图①，当正方形和矩形都水平放置时，容易求出重叠面积．

甲、乙、丙三位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式；

甲：矩形绕着几何中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠面积大小不变．

乙：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行时，此时的重叠面积大于图③的重叠面积．

丙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线，此时的重叠面积是个图形中最小的．

下列说法正确的是（    ）

A．甲、乙、丙都对 B．只有乙对 C．只有甲不对 D．甲、乙、丙都不对

2．（2018·全国八年级单元测试）如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（      ）

A．0 B．1 C． D．

二、填空题

3．（2020·浙江绍兴市·）如图，把边长为4的正方形纸片分成五块，其中点为正方形的中心，点，，，分别为，，，的中点．用这五块纸片拼成与此正方形不全等的四边形（要求这五块纸片不重叠无缝隙），则四边形的周长是______．

4．（2020·四川九年级专题练习）如图，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，，点E在上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A′重合，点B与B′重合，连接EB′，EC，EA′．设EB′=b，EC=c，EA′=p．现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c．请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=_____；当n=12时，p=_____．（参考数据：，）

三、解答题

5．（2020·成都七中万达学校八年级期中）如图与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转60°，得到射线，射线与直线相交于点．

（1）如图①，点与点重合时，点分别在线段上，求证：．

（2）如图②，当点在的延长线上时，分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出三条线段之间的数量关系，并说明理由．

（3）点在线段上，若，，当时，请求出的长．

6．（2020·陕西西安市·交大附中分校八年级期中）（1）认识模型：

如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．若．则______．

（2）应用模型：

①已知直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线垂直于，且，求点的坐标；

②如图3，矩形，为坐标原点，的坐标为（5，4），，分别在坐标轴上，是线段上动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点．若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点的坐标．