专题32 切线长基本图问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题32  切线长基本图问题

【规律总结】

1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点进阶：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 

2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点进阶：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 

3.圆外切四边形的性质1.圆外切四边形四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形. 2.圆外切四边形性质圆外切四边形的两组对边之和相等.

【典例分析】

例1．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）如图：两个同心圆，切小圆于A，切大圆于B，若，，那么两个圆所围成的圆环的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

设同心圆的圆心为O，连接OA、OB和OP，根据切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，然后利用勾股定理可证OA2＋PA2=OB2＋PB2，从而求出OB2－OA2，然后根据圆环的面积公式计算即可．

【详解】

解：设同心圆的圆心为O，连接OA、OB和OP

∵切小圆于A，切大圆于B，

∴∠OAP=∠OBP=90°

在Rt△OAP中，OP2=OA2＋PA2

在Rt△OBP中，OP2=OB2＋PB2

∴OA2＋PA2=OB2＋PB2

∴OA2＋32=OB2＋22

∴OB2－OA2=32－22=5

∴两个圆所围成的圆环的面积为（OB2－OA2）=

故选D．

【点睛】

此题考查的是切线的性质和勾股定理的应用，掌握切线的性质、圆环的面积公式和勾股定理是解题关键．

例2．（2021·全国九年级）如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，，则___．

【答案】2

【分析】

由，，可证四边形是正方形，再根据切线长定理可得，，．设OD＝OE＝r，利用各线段之间的数量关系构建关于r的方程解决问题即可．

【详解】

解：如图，连接，，

∵是的内切圆，切点分别为、、，

∴，．

∵，，

∴四边形是正方形．

设，则根据切线长定理，得

，

．

∵，，

由勾股定理得：．

∴．

解得．

∴．

故答案为：2．

【点睛】

本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线性质、切线长定理、正方形的判定、勾股定理等基本知识点，并能灵活运用所学知识是解题的关键．

例3．（2020·东莞外国语学校九年级期末）如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N

（1）求证：∠AOC=135°

（2）若NC=3，BC=，求DM的长

【答案】（1）见解析；（2）DM=1．

【分析】

(1)只要证明OC平分∠ACD，即可解决问题；

(2)由切线长定理可知：AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，在Rt△BDC中，根据，构建方程即可解决问题．

【详解】

（1）证明：连接OM，ON，过O点做OE⊥AC，交AC于E，如图所示，

∵⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N

∴OM⊥AB，ON⊥CD，

∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB

∴OM=OE

即：E为⊙O的切点；

∴OE=ON，

又∵OE⊥AC，ON⊥CD

∴OC平分∠ACD

∵CD⊥AB

∴∠ADC=90°

∴∠DAC+∠ACD=90°

∴∠OAC+∠OCA=45°

∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-45°=135°，

即：∠AOC=135°

（2）由（1）得，AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，

∵AB=AC

∴BD=AB-AD=AC-AE-DM=CE=DM=3-x

∵CD=3+x

在Rt∆BCD中，由勾股定理得：

即：

解得：x=1或x=-1（舍去）

即DM=1．

【点睛】

本题考查切线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·福建泉州市·泉州五中九年级期中）如图，切于点切于点交于点，下列结论中不一定成立的是（  ）

A． B．平分

C． D．

【答案】D

【分析】

利用切线长定理证明△PAG≌△PBG即可得出．

【详解】

解：连接OA，OB，AB，AB交PO于点G，

由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB，

又∵PG=PG，

∴△PAG≌△PBG，

从而AB⊥OP．
因此A．B．C都正确．
无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．
综上可知：只有D是错误的．
故选：D．

【点睛】

本题考查了切线长定理、全等三角形的判定和性质，关键是利用切线长定理解答．

2．（2019·内蒙古乌兰察布市·九年级期末）如图，为外一点，分别切于点切于点且分别交于点，若，则的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据切线长定理得到PB=PA、CA=CE，DE=DB，根据三角形的周长公式计算即可．

【详解】

解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PB=PA=4，
∵CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，
∴CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8，
故选：C．

【点睛】

本题考查的是切线长定理的应用，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．

二、填空题

3．（2020·安徽芜湖市·九年级月考）如图所示，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，点A、B为切点．连接AO并延长交PB 的延长线于点C，过点C作CD⊥PO，交PO的延长线于点D．（1）_______；（2）若PA=6，AC=8，则CD=_______．

【答案】（1）2    （2）．   

【分析】

（1）根据切线长定理可得∠APC＝2∠APO，再由CD⊥PO，可推出∠OCD＝∠APO，则可求解；

（2）连接OB，利用切线长定理得到PB＝PA＝6，再利用勾股定理计算出PC＝10，则BC＝4，设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OC＝8−r，在Rt△BCO中利用勾股定理可求出r＝3，所以OA＝3，OC＝5，然后证明△COD∽△POA，再利用相似比求出CD．

【详解】

解：（1）∵PA、PB为⊙O的切线，

∴OP平分∠APC．
∴∠APC＝2∠APO．

∵CD⊥PO，OA⊥PA，

∴∠OCD＋∠COD＝90°，∠APO＋∠AOP＝90°．

∵∠COD＝∠POA，

∴∠OCD＝∠APO．

∴．

故答案为：2．

（2）如图，连接OB，

∵PA、PB为⊙O的切线，PA=6，

∴PB＝PA＝6．

在Rt△APC中，由勾股定理得：PC＝．

∴BC＝PC−PB＝4，

设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OC＝8−r，

在Rt△BCO中，由勾股定理得：42＋r2＝（8−r）2，解得r＝3．

∴OA＝3，OC＝5，

在Rt△OPA中，由勾股定理得：OP＝．

∵∠COD＝∠POA，∠OCD＝∠OPA，

∴△COD∽△POA．

∴．

即．

∴CD＝．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了切线长定理、切线的性质与考查了相似三角形的判定与性质，在解答此类问题时，若出现圆的切线，连过切点的半径构造直角三角形，是常用的辅助线作法．

4．（2020·扬州大学附属中学东部分校九年级月考）如图，⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，△ABC的周长为18，则AE＝____．

【答案】9．

【分析】

根据切线的性质得出BE＝BD，DC＝CF，进而解答即可．

【详解】

解：∵⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，

∴BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，

∵△ABC的周长为18，

即AC+BC+AB＝AB+DB+DC+AC＝AB+BE+AC+CF＝18，

∴AE+AF＝18，

∴AE＝9，

故答案为：9．

【点睛】

本题考查的知识点是切线的性质，根据切线的性质得出BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE是解此题的关键．

三、解答题

5．（2020·江苏宿迁市·九年级月考）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．

（1）如图1，证明：OD∥BC；

（2）如图2，若AD是⊙O的切线，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，且OA＝，求EF的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）EF＝．

【分析】

（1）连接OC，证明△OAD≌△OCD（SSS）得∠ADO=∠CDO，由AD=CD知DE⊥AC，再由AB为直径知BC⊥AC，从而得OD∥BC；

（2）连接AF，过F作FM⊥EF交OD于M，推出△ABD为等腰直角三角形，求得∠AFB=90°，∠DAF=∠45°，根据全等三角形的性质即可得到结论．

【详解】

（1）连接OC，

在△OAD和△OCD中，

，

∴△OAD≌△OCD（SSS），

∴∠ADO＝∠CDO，

又AD＝CD，

∴DE⊥AC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

即BC⊥AC，

∴OD∥BC；

（2）连接AF，过F作FM⊥EF交OD于M，

∵AB＝AD，AD是圆的切线，

∴△ABD为等腰直角三角形，

∵AB为直径，

∴∠AFB＝90°，∠DAF＝∠45°，

∵∠AED＝∠AFD＝90°，

∴∠DAF＝∠DEF＝45°，

∴AF＝DF，

∴∠AFE＝∠DFM，

∵∠EAF＝∠FDM，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴AE＝DM，

∵，OA＝，

∴OD＝＝5，

∴AE＝DM＝＝2，DE＝4，

∴EM＝4﹣2＝2，

∴EF＝．

【点睛】

本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

6．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，是的直径，直线与相切于点，直线与相切于点，点（异于点）在上，点在上，且，延长与相交于点E，连接并延长交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）如图，连接并延长与分别相交于点、，连接．若，，求．

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）

【分析】

（1）连接OD，根据等边对等角可知：∠CAD=∠CDA，∠OAD=∠ODA，再根据切线的性质可知∠CAO=∠CAD+∠OAD=∠CDA+∠ODA=90°=∠ODC，由切线的判定定理可得结论；

（2）连接BD，根据等边对等角可知∠ODB=∠OBD，再根据切线的性质可知∠ODE=∠OBE=90°，由等量减等量差相等得∠EDB=∠EBD，再根据等角对等边得到ED=EB，然后根据平行线的性质及对顶角相等可得∠EDF=∠EFD，推出DE=EF，由此得出结论；

（3）过E点作EL⊥AM于L，根据勾股定理可求出BE的长，即可求出tan∠BOE的值，再利用倍角公式即可求出tan∠BHE的值．

【详解】

（1）连接OD，

∵，

∴∠CAD=∠CDA，

∵OA=OD

∴∠OAD =∠ODA，

∵直线与相切于点，

∴∠CAO=∠CAD+∠OAD=90°

∴∠ODC=∠CDA+∠ODA=90°

∴CE是的切线；

（2）连接BD

∵OD=OB

∴∠ODB=∠OBD，

∵CE是的切线，BF是的切线，

∴∠OBD=∠ODE=90°

∴∠EDB=∠EBD

∴ED=EB

∵AM⊥AB，BN⊥AB

∴AM∥BN

∴∠CAD=∠BFD

∵∠CAD=∠CDA=∠EDF

∴∠BFD=∠EDF

∴EF=ED

∴BE=EF

（3）过E点作EL⊥AM于L，则四边形ABEL是矩形，

设BE=x，则CL=4-x，CE=4+X

∴(4+x)2=(4-x)2+62

解得：x=

∵∠BOE=2∠BHE

解得：tan∠BHE=或-3（-3不和题意舍去）

∴tan∠BHE=

【点睛】

本题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角函数/，勾股定理等知识，熟练掌握这些知识点并能熟练应用是解题的关键．