专题08 新定义问题（1）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题08  新定义问题（1）

【规律总结】

※知识精要

新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题

目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目的是通过对新定义

的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。

※要点突破

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明 确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

【典例分析】

例1．（2020·湖南广益实验中学七年级月考）规定：用表示大于的最小整数，例如，，等；用表示不大于的最大整数，例如，，，如果整数满足关系式：，则的值为（　　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意，可将2x＋3[x]＝32变形为2x＋2＋3x＝32，解方程后即可得出结论．

【详解】

解：∵x为整数，

∴{x}＝x＋1， [x]＝x， 

∴2{x}＋3[x]＝32可化为：2（x＋1）＋3x＝32

去括号，得 2x＋2＋3x＝32，

移项合并，得5x＝30，

系数化为1，得x＝6．

故选：C．

【点睛】

本题结合新定义主要考查解一元一次方程，比较新颖，注意仔细审题，理解新定义运算的规则是解题的关键．

例2．（2021·河南安阳市·八年级期末）对于有理数，，定义：当时，；当时，．若，则的值为______．

【答案】36

【分析】

根据与40的大小，再根据，从而确定m，n的值即可得出的值．

【详解】

解：∵，

∴40≤；

∴

∴（m+6）2+（n-2）2≤0，
∵（m+6）2+（n-2）20，

∴m+6=0，n-2=0，
∴m=-6，n=2，

∴

故答案为：36．

【点睛】

本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．

例3．（2021·北京西城区·八年级期末）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：如图，点的“最佳间距”是1．

（1）点，，的“最佳间距”是__________；

（2）已知点，，．

①若点O，A，B的“最佳间距”是1，则y的值为__________；

②点O，A，B的“最佳间距”的最大值为________；

（3）已知直线l与坐标轴分别交于点和，点是线段上的一个动点．当点，，的“最佳间距”取到最大值时，求此时点P的坐标．

【答案】（1）2；（2）①±1；②3；（3）P（，）．

【分析】

（1）根据题意，分别求出点，，任意两点间的距离，比较后即可得出结论；

（2）①根据三个点的坐标特点可得AB∥y轴，由此可求出OA、OB均不满足点O，A，B的“最佳间距”是1，则可得AB＝1，从而求出y值的两种情况；

② 根据OA＝3，且OA为定值，可得无论y取何值，点O，A，B的“最佳间距”的最大值为3；

（3）根据题目中的已知条件，可利用待定系数法求出直线CD的解析式，由，可判断PE⊥x轴，同（2）②则可得出点，，的“最佳间距”取到最大值时的条件为OE＝PE，从而可列出关于m的方程，求解后即可求出点P的坐标．

【详解】

解：（1）∵点，，，

∴，，，

∵2＜3＜，

∴点，，的“最佳间距”是2．

故答案为：2．

（2）①∵点，，，

∴AB∥y轴，

∴OA＝3，OB＞OA，

∵点O，A，B的“最佳间距”是1，

∴AB＝1，

∴y＝±1．

故答案为：±1．

②当－3≤y≤3时，点O，A，B的“最佳间距”是＝AB≤3，

当y＞3或y＜－3时，AB＞3，点O，A，B的“最佳间距”是OA＝3，

∴点O，A，B的“最佳间距”的最大值为3．

故答案为：3．

（3）如图，

设直线CD的解析式为y＝k1x＋b1，将，代入得：

解得

∴，

∵，，

∴PE⊥x轴，

当且仅当OE＝PE时，点，，的“最佳间距”取到最大值，

∵OE＝m，PE＝n＝，

∴，

解得，

∴P（，），

当点O，E，P的“最佳间距”取到最大值时，点P的坐标为（，）．

【点睛】

本题考查了新定义运算的综合应用，弄清新定义的规则，并灵活应用所学知识求解是解题的关键．

【真题演练】

一、单选题

1．（2020·福建省泉州实验中学八年级月考）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”．若是“匀称三角形”，且，，则为（    ）

A． B． C． D．无法确定

2．（2021·上海徐汇区·九年级一模）定义：表示不超过实数的最大整数例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（   ）

A．函数的定义域是一切整数

B．函数的图像是经过原点的一条直线

C．点在函数图像上

D．函数的函数值随的增大而增大

二、填空题

3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）定义运算“※”：，若的值为整数，则整数x的值为_______．

4．（2020·浙江嘉兴市·七年级期末）材料：一般地，n个相同因数a相乘：记为．如，此时3叫做以2为底的8的对数，记为（即）．那么_____，_____．

三、解答题

6．（2021·北京顺义区·七年级期末）我们规定：若有理数满足，则称互为“等和积数”，其中叫做的“等和积数”，也叫的“等和积数”．例如：因为，，所以，则与互为“等和积数”．

请根据上述规定解答下列问题：

（1）有理数2的“等和积数”是__________；

（2）有理数1_________（填“有”或“没有”）“等和积数”；

（3）若的“等和积数”是，的“等和积数”是，求的值．

6．（2021·北京海淀区·北理工附中七年级期末）我们把称为二阶行列式，且．如：．

（1）计算：_______；________；

（2）小明观察（1）中两个行列式的结构特点及结果，归纳总结，猜想：若行列式中的某一行（列）的所有数都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式．即，你认为小明的猜想正确吗？若正确请说明理由，若错误请举出反例．

（3）若，且，求x的值．