专题59 实验操作类问题（1）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题59  实验操作类问题（1）

【规律总结】

实验操作型问题是让学生在实际操作的基 础上设计问题,通过动手测量、作图、取值、 计算等实验,猜想获得数学结论来设计有关 问题,这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合理猜想和验证。

【典例分析】

例1．（2020·全国九年级专题练习）如图，已知像这样由7个全等的正六边形组成的图形叫做“二环蜂窝”，每个正六边形的顶点叫做格点，顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．已知为该二环蜂窝一个格点三角形，则在该二环蜂窝中，以点A为顶点且与相似（包括全等但不与重合）的格点三角形最多能作的个数为（    ）

A．18 B．23 C．25 D．31

【答案】D

【分析】

先说明△ABC是含30°的直角三角形，分两类讨论符合题意的三角形，①相似比为1的，根据一个正六边形，以斜边不同找三角形的个数为6，三个正六边形为：个；②找相似比不为1的，以斜边不同，同理可得结论．

【详解】

解：∵7个全等的正六边形，

∴△ABC三个内角分别为30°，60°，90°，

①如图1，与△ABC全等时，在正六边形ADEFGH中，

以AF为斜边的有4个：△AFG，△AFH，△AFE，△AFD，

以DG为斜边的有△ADG，以EH为斜边的有△AEH，

同理另外以点A为顶点的两个正六边形各有6个全等的三角形，去掉△ABC本身，所以一共有17个三角形，

②如图2，与△ABC相似的，以AA'为斜边的有4个，以AD为斜边的有4个，

以C'B'为斜边的有△AB'C'，以BB'为斜边的有△ABB'，以D'H为斜边的有△AHD'，以EH为斜边的有△AEH，以FG为斜边的有△AFG，以OG为斜边的有△OAG，所以一共有14个，

综上所述，以点A为顶点且与△ABC相似（包括全等但不与△ABC重合）的格点三角形最多能作的个数为：17+14＝31（个）；

故选：D．

【点睛】

本题考查相似和全等三角形的判定、正六边形的性质，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考填空题中的压轴题．

例2．（2020·西安市铁一中学九年级期中）如图，将一张矩形纸片的边斜着向边对折，使点落在边上，记为，折痕为；再将边斜向下对折，使点落在上，记为，折痕为，，，则矩形纸片的面积为________．

【答案】15

【分析】

先根据矩形的性质可得，设，从而可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，由此可得，最后根据可求出a的值，从而可得AB、BC的值，据此利用矩形的面积公式即可得．

【详解】

四边形ABCD是矩形，

，

设，则，

由折叠的性质得：，

，

，

，

又，

，

，

在和中，，

，

，即，

解得，

，

，

解得，

，

则矩形纸片的面积为，

故答案为：15．

【点睛】

本题考查了矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．

例3．（2020·浙江七年级其他模拟）操作与推理：我们知道，任何一个有理数都可以用数轴上一个点来表示，根据下列题意解决问题：

（1）已知x=2，请画出数轴表示出x的点：

（2）在数轴上，我们把表示数2的点定为基准点，记作点O，对于两个不同的点A和B，若点A、 B到点O的距离相等，则称点A与点B互为基准等距变换点．例如图2，点A表示数-1，点B表示数5，它们与基准点O的距离都是3个单位长度，我们称点A与点B互为基准等距变换点．

①记已知点M表示数m，点N表示数n，点M与点N互为基准等距变换点．I．若m=3，则n=    ；II．用含m的代数式表示n=    ；

②对点M进行如下操作：先把点M表示的数乘以23，再把所得数表示的点沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N，若点M与点N互为基准等距变换点，求点M表示的数；

③点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为8个单位长度，对Q点做如下操作： Q1为Q的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q1的落点为Q2这样为一次变换： Q3为Q2的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q3的落点为Q4这样为二次变换： Q5为Q4的基准等距变换点．．．．．．，依此顺序不断地重复变换，得到Q5，Q6，Q7．．．．Qn，若P与Qn．两点间的距离是4，直接写出n的值．

【答案】（1）见解析；（2）①I，1；II 4-m ②；③2或6．

【分析】

（1）在数轴上描点；

（2）由基准点的定义可知，；

（3）（3）设P点表示的数是m，则Q点表示的数是m+8，由题可知Q1与Q是基准点，Q2与Q1关于原点对称，Q3与Q2是基准点，Q4与Q3关于原点对称，…
由此规律可得到当n为偶数，Qn表示的数是m+8-2n，P与Qn两点间的距离是4，则有|m-m-8+2n|=4即可求n；

【详解】

解：（1）如图所示，

（2）①Ⅰ．∵2是基准点，m=3，3到2的距离是1，所以到2的距离是1的另外一个点是1，
∴n=1；
故答案为1；

Ⅱ．有定义可知：m+n=4，

∴n=4-m；

故答案为：4-m

②设点M表示的数是m，
先乘以23，得到23m，
再沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N为23m+2，
∵点M与点N互为基准等距变换点，
∴23m+2+m=4，
∴m=；
③设P点表示的数是m，则Q点表示的数是m+8，如图，

由题可知Q1表示的数是4-(m+8)，Q2表示的数是-4+(m+8)，Q3表示的数是8-(m+8)，Q4表示的数是-8+(m+8)，Q5表示的数是12-(m+8)，Q6表示的数是-12+(m+8)…
∴当n为偶数，Qn表示的数是-2n+（m+8），
∵若P与Qn两点间的距离是4，
∴|m-[-2n+(m+8)]|=4，
∴n=2或n=6．

【点睛】

本题考查新定义，数轴上数的特点；能够理解基准点的定义是解决问题的基础，从定义中探究出基准点的两个点是关于2对称的；（3）中找到Q的变换规律是解题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2019·山西七年级期末）在数学课上，老师让每个同学拿一张三角形纸片，，设，要求同学们利用所学的三角形全等的判定方法，剪下两个全等的三角形．下面是四位同学的裁剪方法，如图，剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片的有（    ）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

【答案】C

【分析】

利用全等三角形的判定定理一一排查即可．

【详解】

如图1中，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

，BE=FC=2，

∠B=∠C，

BF=CG=3，

△EBF≌△FCG（SAS），

剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片的有，

，

如图2，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

BE=CG=3，

∠B=∠C，

BF=CF=2.5，

△BEF≌△CGF（SAS），

剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片，

，

如图 3，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠EFG=，

∴∠BEF+∠EFB=180º-xº=∠EFB+∠GFC，

∴∠BEF=∠GFC，

BE的对应边是FC，相等情况不确定，

△BEF与△CGF全等不确定，

如图4，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠EFG=，

∴∠BEF+∠EFB=180º-xº=∠EFB+∠GFC，

∴∠BEF=∠GFC，

EB=FC=2，

∠B=∠C，

△BEF≌△CFG（ASA），

剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片．

故选择：C．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，从图形中找到三角形全等的条件是否充足，够条件可以断定，条件不够或不确定就不断定．

2．（2020·台州市椒江区前所中学九年级月考）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图①，以直角三角形的各边为边向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形按如图②的方式放置在最大等边三角形内．若知道图②中阴影部分的面积，则一定能求出图②中（    ）

A．最大等边三角形与直角三角形面积的和 B．最大等边三角形的面积

C．较小两个等边三角形重叠部分的面积 D．直角三角形的面积

【答案】C

【分析】

设三个等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，则有S1+S2=S3，利用三角形面积的和与差可得结论．

【详解】

解：如图，以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，设它们的面积分别为S1、S2、S3，则有S1+S2=S3，
∴S1+S2+S阴影=S3+S△EFG，
∴S阴影=S△EFG，
即知道图②中阴影部分的面积，则一定能求出图②中较小两个等边三角形重叠部分的面积，
故选：C．

【点睛】

本题考查了勾股定理的证明和三角形的面积，直观识图是关键．

二、填空题

3．（2020·四川自贡市·）如图，在三角形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的点处，折痕记为，剪去△后得到双层△，再沿着过△某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的面积是_____．

【答案】

【分析】

利用三角函数先求解得到是的中垂线，由对折的性质求解分情况讨论， ①如图中，当时，沿着直线EF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，②如图中，当FD=FB时，沿着直线DF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，利用平行四边形的面积是三角形面积的倍，从而可得答案．

【详解】

解：如图，

∴

由对折设

是的中垂线，

在Rt中，

∴，

∴，

①如图中，当时，沿着直线EF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，

为等边三角形，

过作于，

②如图中，当FD=FB时，沿着直线DF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，

过作于，

综上：所得平行四边形的面积是

故答案为：

【点睛】

本题考查翻折变换、线段的垂直平分线的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质、含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．

4．（2020·湖北襄阳市·九年级其他模拟）菱形ABCD中，AB=8,∠B=120°，沿过菱形不同的顶点裁剪两次，再将所裁下的图形拼接，若恰好能无缝，无重叠的拼接成一个矩形，则所得矩形的对角线长为_____．

【答案】或者

【分析】

按两种情况讨论，根据题意可知两种情况可拼出的新矩形一样，再根据菱形的性质以及矩形的性质，由勾股定理求解即可得到新矩形的对角线的长度；

【详解】

解：分情况讨论，

情况①，如图，分别沿菱形的对角线AC、BD裁剪，将剪下的四个三角形重新拼接得到矩形 或者矩形 ，如图，

∵AB=8,∠B=120°，

∴ , ，

当拼成矩形时，有 , ,

∴矩形对角线长为： ，

当拼成矩形时，有 , ,

∴矩形对角线长为：；

情况②，过B作BE⊥AD，过D作DF⊥BC，分别沿BE、DF裁剪，将剪下的三角形和剩余的矩形重新拼接得到和①一样的新矩形 或者矩形，如图，

因此新矩形的对角线长为或者，

故答案为：或者；

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质以及矩形的判定与性质、勾股定理，学会分情况讨论以及勾股定理求解对角线是解题的关键；

三、解答题

5．（2020·江苏镇江市·八年级期末）阅读：顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．八（1）班的宣传小组A、B、C三名同学在布置班级文化时，他们需要从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形．

A说：我会折，横对折后再竖对折，剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形．

B说：我会画，作一组对边上两点连线的垂直平分线，然后连线也可以得到菱形．

C说：我会叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则这个四边形也是菱形．（两两相交：一个矩形的两条长边与另一个矩形的两条长边都相交）

（一）操作与画图．

1．在图1中画出折、剪、展所得的最大内接菱形，它是菱形的依据是_______．

2．在图2中用尺规作出所得的最大内接菱形（保留作图痕迹，不要求写作法） ．

3．在图3中画出重叠后的最大内接菱形，并画出另一矩形的摆放位置．

（二）证明与计算

1．标上必要的字母，证明图2中操作得到的四边形是菱形．

2．己知矩形，结合图1，图2，图3，计算此矩形内接菱彤的面积最大值是________．

（三）拓展与应用

如图，矩形的最大内接菱形的面积是矩形面积的，则________．

【答案】（一）操作与画图：1．折图见解析，四边相等的四边形为菱形或对角线垂直且互相平分的四边形为菱形；2．详见解析；3．详见解析；（二）证明与计算：1．详见解析；2．；（三）拓展与应用：或

【分析】

（一）操作与画图：1．利用矩形的轴对称性质可以折出矩形的最大的内接菱形，由对折可得：，从而可得结论；或由对折可得：从而可得答案；2．连接， 再作的垂直平分线分别与于，从而可得答案；3．如图，画矩形与矩形，满足一条对角线按图所示重合即可得到答案．

（二）证明与计算：1．先证明，得到 结合，，从而可得结论；2．由图1的菱形面积等于矩形面积的一半，从而可得答案；图2,3中，设AF=FC=x， 利用勾股定理求解，从而可得菱形的面积；

（三）拓展与应用：如图4中，不妨设AB＜AD，以AC为菱形的对角线，此时菱形的面积最大，由已知可得设CF=5k，BC=9k，则BF=4k，再利用勾股定理表示，从而分＜，＞两种情况求解即可．

【详解】

解：（一）操作与画图．

1．如图，由对折可得：，

四边形是菱形．

或：由对折可得：

四边形是菱形．

所以依据是：四边相等的四边形为菱形或对角线垂直且互相平分的四边形为菱形．

故答案为：四边相等的四边形为菱形或对角线垂直且互相平分的四边形为菱形．

2．连接 再作的垂直平分线分别与于，

则四边形是所求作的菱形．作图如下：

3．如图所示，让矩形的两条对角线互相重合，重叠部分是所求作的菱形，

（二）证明与计算：1．证明：由题意知：矩形

，

是的垂直平分线，

，

四边形为平行四边形

又

平行四边形为菱形

2．解：如图1中，菱形AECF的面积=．

如图2，3中，设AF=FC=x，

在Rt中，∵∠B=90°，

∴，

∴

 解得

∴菱形AECF的面积=

∵＞24，

∴此矩形内接菱形的面积最大值是．

故答案为 ．

（三）拓展与应用：

解：如图4中，不妨设AB＜AD，以AC为菱形的对角线，此时菱形的面积最大，

 由题意：

∴

设CF=5k，BC=9k，则BF=4k，

 在Rt中，

∵∠B=90°，AF=CF=5k，BF=4k，

∴

∴

当AB＞AD时，同法可得

故答案为或3：1．

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，轴对称的性质，垂直平分线的性质，三角形的全等的判定与性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．

6．（2018·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期末）综合与实践

问题背景：

综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究． 下面是创新小组在操作过程中研究的问题， 如图一，△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．

操作与发现：

（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是       ，CF=        ； 

（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是       ，CF=        ．

操作与探究 ：

（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF， BF． 经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．

【答案】（1）矩形，4 ；（2）菱形，；（3）详见解析．

【分析】

（1）由题意及图形可直接解答；

（2）根据题意及图形，结合直角三角形的性质定理可直接得到答案；

（3）根据旋转的性质及题意易得，然后得到四边形ACBF为平行四边形，最后问题得证．

【详解】

（1）如图所示：

△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，

，

，四边形ACBF是矩形，AB=4，

AB=CF=4；

故答案为：矩形，4  ；

（2）如图所示：

△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，

，

，四边形ECBF是平行四边形，

点E与AB的中点重合，CE=BE，是等边三角形，

EC=BC，四边形ECBF是菱形，CF与EB互相垂直且平分，

，，

故答案为：菱形，；

（3）证明：如图所示：

∵

∵

∴

∴

∵

∵

∴为等边三角形

∴

∴

∵

∴四边形ACBF为平行四边形

∵

∴四边形ACBF为矩形．

【点睛】

本题主要考查特殊平行四边形的性质及判定、全等三角形的性质，关键是由题意图形的变化及三角形全等的性质得到线段的等量关系，然后结合特殊平行四边形的判定方法证明即可．