河南省洛阳市2021届高三下学期5月第三次统一考试（三练）数学（文）+答案

洛阳市2020－2021学年高中三年级第三次统一考试

数学试卷(文)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A＝{x|x2－4<0}，B＝{x|log3x<1}，则A∩B＝

A.(0，1)     B.(0，2)     C.(－2，1)     D.(－2，3)

2.已知i为虚数单位，复数z满足z(3＋i)＝4－2i，则下列说法正确的是

A.复数z的模为2         B.复数z的共轭复数为－1＋i

C.复数z的虚部为－i      D.复数z在复平面内对应的点在第四象限

3.已知下表所示数据的回归直线方程为＝4x－4，则实数m的值为

A.11     B.12     C.13     D.14

4.下列命题中，真命题是

A.命题“若sinx＝siny，则x＝y”的逆否命题是真命题

B.命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2<0”

C.“x>1”是“x2>1”的必要不充分条件

D.对任意x∈R，ex＋e－x≥2

5.执行如图所示的程序框图，则输出a的值为

A.－     B.     C.－3     D.2

6.已知双曲线E：(a>0，b>0)的左，右焦点为F1，F2，P为其渐近线上一点，若△PF1F2是等腰直角三角形，则E的离心率为

A.     B.2     C.    D.

7.已知a＝log31.5，b＝log0.50.1，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为

A.c<a<b     B.b<c<a     C.a<c<b     D.a<b<c

8.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形。设直角三角形中一个锐角的正切值为2，在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是

A.     B.     C.     D.

9.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S9＝126，a4＋a10＝40，则的最小值为

A.12＋ 1     B.4＋1     C.19     D.28

10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域为

A.{0，－3}     B.{0，－1}     C.{0，－1，－2}     D.{1，0，－1，－2}

11.已知球O是棱长为24的正四面体ABCD的内切球，球O1与球O外切且与正四面体的三个侧面都相切，则球O1的表面积为

A.24π     B.12π     C.8π     D.6π

12.已知f'(x)是函数f(x)的导函数，且对任意实数x都有f'(x)－f(x)＝ex(2x－1)，f(0)＝4，则不等式f(x)<10ex的解集为

A.(－2，3)     B.(－3，2)     C.(－∞，－3)∪(2，＋∞)     D.(－∞，－2)∪(3，＋∞)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若sin(－θ)＝，θ∈(0，π)，则sin2θ＝           。

14.已知递增等比数列{an}满足，a3＝4，则a8＝           。

15.已知A，B是圆O：x2＋y2＝4上的两个动点，|AB|＝2，，M为线段AB的中点，则的值为          。

16.已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左，右焦点分别是F1，F2，P是椭圆C上第一象限内的一点，且△PF1F2的周长为4＋2。过点P作C的切线l，分别与x轴和y轴交于A，B两点，O为原点，当点P在C上移动时，△AOB面积的最小值为          。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(本小题满分12分)

在平面四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AD＝2，BD＝4。

(1)求cos∠ABD；

(2)若BC＝2，求CD。

18.(本小题满分12分)

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点。

(1)证明：PB//平面AEC；

(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P－ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离。

19.(本小题满分12分)

设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P(4，m)(m>0)是抛物线C上一点，且|PF|＝5。

(1)求抛物线C的方程；

(2)若A，B为抛物线C上异于P的两点，且PA⊥PB。记点A，B到直线y＝－4的距离分别为a，b，求证：ab为定值。

20.(本小题满分12分)

2020年11月某市进行了高中各年级学生的“国家体质健康测试”。现有1500名(男生1200名，女生300名)学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名学生进行分析，得到如下统计图表：

男生测试情况：

女生测试情况：

(1)现从抽取的100名且测试成绩为优秀的学生中随机挑选两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；

(2)若测试成绩为良好或优秀的学生为“体育达人”，其他成绩的学生(含病残等免试学生)为“非体育达人”。根据以上统计数据填写下面的列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否为体育达人与性别有关？

附：，n＝a＋b＋c＋d。

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝ax－x2－lnx(a∈R)。

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)存在极值，且这些极值的和大于5＋ln2，求实数a的取值范围。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)。在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ。

(1)求C1和C2的直角坐标方程；

(2)若射线l：θ＝θ0(θ0∈[，]，ρ≥0)与曲线C1和C2分别交于异于原点的点A，B，求取值范围。

23.[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)

已知a，b，c都是正实数，

(1)若，求ab＋bc＋ac的最小值；

(2)若a>b>c，且a＋2b＋3c＝1，求证：a2＋8b2＋27c2<1。