（新教材）2020-2021学年下学期高一期末备考金卷 数学

（新教材）2020-2021学年下学期高一期末备考金卷

数  学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z满足，则z的虚部为（    ）

A． B． C． D．

2．已知向量，，若向量与向量共线，则（    ）

A． B． C． D．

3．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：

若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（    ）

A．10 B．09 C．71 D．20

4．从1，2，3，4，5中选出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是3的倍数的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为（    ）

A．s＝s1 B．s<s1 C．s>s1 D．不能确定

6．在中，，，，M为BC中点，O为的内心，

且，则（    ）

A． B． C． D．1

7．在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，等边三角形中，为边的中点，于．将沿翻折至的位置，连接．那么在翻折过程中：

①总有成立；

②存在某个位置，使；

③在线段上，存在异于两端点的点，使线段的长度始终保持不变．

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项都不对

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知100个数据的75百分位数是，则下列说法不正确的是（    ）

A．这100个数据中一定有75个数小于或等于

B．把这100个数据从小到大排列后，是第75个数据

C．把这100个数据从小到大排列后，是第75个数据和第76个数据的平均数

D．把这100个数据从小到大排列后，是第75个数据和第74个数据的平均数

10．设为复数，．下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

11．下列命题中，正确的是（    ）

A．在中，，

B．在锐角中，不等式恒成立

C．在中，若，则必是等腰直角三角形

D．在中，若，，则必是等边三角形

12．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且(λ，μ∈R)，

则下列说法正确的有（    ）

A．若且λ>0，则点P在线段BC的延长线上

B．若且λ<0，则点P在线段BC的延长线上

C．若，则点P在△OBC外

D．若，则点P在△OBC内

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为，第二次朝上一面的点数为，则函数在上为减函数的概率是_______．

14．已知复数z满足，则（其中i是虚数单位）的最小值为________．

15．一个项目由15个专家评委投票表决，剔除一个最高分96，一个最低分58后所得到的平均分为92，方差为16，那么原始得分的方差为__________．

16．已知圆锥的底面积为，高为，则这个圆锥的侧面积为________ cm2，圆锥的内切球（与圆锥的底面和各母线均相切的球）的表面积为_________ cm2．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知复数，，为虚数单位．

（1）若复数，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；

（2）若，求的共轭复数．

18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率直方图．

（1）求直方图中的值；

（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数；

（3）估计居民月均用水量的中位数．

19．（12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事．为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．

（1）求和的值；

（2）试求两人共答对3道题的概率．

20．（12分）如图所示，在三棱柱中，侧棱AA1⊥底面ABC，，D为AC的中点，，．

（1）求证：平面BC1D；

（2）求AB1与BD所成角的余弦值．

21．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．

（1）求角A的大小；

（2）求△ABC周长的取值范围．

22．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，且侧面垂直底面，，分别为，的中点．

（1）求证：；

（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】C

【解析】由已知，虚部为，

故选C．

2．【答案】A

【解析】由题意得，

因为向量与向量共线，所以，解得，

故选A．

3．【答案】B

【解析】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，

所以选出来的第4个个体的编号为09，故选B．

4．【答案】C

【解析】从1，2，3，4，5这5个数中，选出三个不同的数字组成一个三位数，共有个三个位数，

若这个三位数是3的倍数，则必须是由1，2，3或1，3，5或2，3，4或3，4，5组成的三位数，这一共可组成，

所以这个三位数是3的倍数的概率为，故选C．

5．【答案】C

【解析】由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，

即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为，

则，

，

若比较与的大小，只需比较与的大小即可，

而，，

所以，

从而，故选C．

6．【答案】A

【解析】由题知，，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径，四边形AEOF为矩形，

则，

又，

则，

则，则，

故选A．

7．【答案】A

【解析】当开关合上时，电路畅通即表示至畅通且至畅通，

至畅通的概率，

至畅通的概率，

所以电路畅通的概率，故选A．

8．【答案】B

【解析】①∵，∴，，

又，∴平面，∴，故①正确；

②假设存在某个位置，使得，

连接，则，，

故平面，∴，

又由（1）知，，∴平面，∴，

∴，显然这是不可能的，故假设错误，故②错误；

③存在点，满足，取的中点，连接，

易得，，

设底面三角形的边长为，则，，，

∵平面，故平面，∴，故是直角三角形，

∴，故③正确，

故选B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【答案】ABD

【解析】因为为整数，

所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位，

所以A、B不正确；C正确；D不正确，

故选ABD．

10．【答案】BC

【解析】由复数模的概念可知，不能得到，例如，，A错误；

由可得，因为，所以，即，B正确；

因为，，而，所以，所以，

C正确；

取，，显然满足，但，D错误，

故选BC．

11．【答案】ABD

【解析】对于A，由，可得，利用正弦定理可得，正确；

对于B，在锐角中，，

，，

，因此不等式恒成立，正确；

对于C，在中，由，

利用正弦定理可得，，

，或，

或，

是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误；

对于D，由于，，

由余弦定理可得，可得，解得，

可得，故正确，

故选ABD．

12．【答案】BC

【解析】因为，

若且λ>0，则，

故，即，

又λ>0，则点P在线段BC或其反向延长线上，A错误；

若且λ<0，同上可得，而λ<0，则点P在线段BC的延长线上，B正确；

若，，同上可得，

当时，，根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P在△OBC外，

C正确；

若，不妨令λ=0，，则，很显然此时点P在线段CO的延长线上，

不在△OBC内，D错误，

故选BC．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】由题意，将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，可得，，

又由函数在上为减函数，则，即，

当取1时，可取2，3，4，5，6；

当取2时，可取4，5，6；

当取3时，可取6，共9种，

又因为的取值共36种情况，

所以所求概率为，故答案为．

14．【答案】1

【解析】复数满足为虚数单位），

设，，

则，

当且仅当时取等号，

故答案为1．

15．【答案】

【解析】剔除最高分和最低分后的，

，

则原始平均分，

原始，

原始方差，

即原始方差为88．

16．【答案】，

【解析】设圆锥底面圆的半径为，母线长为，

由题意可得，可得，

由勾股定理可得，

所以圆锥的侧面积为，

作圆锥的轴截面如图所示：、分别与圆相切于两点，

设圆半径为，连接，则，

过点作，则，，

所以，

所以，即，解得，

所以圆锥的内切球半径为，

所以圆锥的内切球的表面积为，

故答案为，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意，复数，，

则，

因为复数在复平面上对应的点在第四象限，

所以，解得，

即实数的取值范围．

（2）由，

所以．

18．【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）由频率直方图可知，月均用水量在的频率为．

同理，在，，，，，的频率分别为，，，，，．

由，解得．

（2）由（1）知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为．

由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为．

（3）设中位数为，

因为前5组的频率之和为．

而前4组的频率之和为，

所以，

由，解得，

故可估计居民月均用水量的中位数为．

19．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，．

设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，

则，．

由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，

所以与相互独立，与相互互斥，

所以，

．

由题意可得，即，解得或，

由于，所以，．

（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2．

由题意得，，，

，．

设{甲乙二人共答对3道题}，则．

由于和相互独立，与相互互斥，

所以，

所以，甲乙二人共答对3道题的概率为．

20．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：如图，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD．

∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．

∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．

∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，

∴AB1∥平面BC1D．

（2）解：由（1）可知，∠ODB为AB1与BD所成的角或其补角，

∵AA1＝AB＝2，∴，，

在Rt△ABC中，D为AC的中点，则，

同理可得，

在△OBD中，

，

∴AB1与BD所成角的余弦值为．

21．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵，∴，

∴，∴，

△ABC为锐角三角形，于是．

（2）由正弦定理，可得，，

，

∴周长

，

又∵△ABC为锐角三角形，，

，∴，

∴，∴，

∴周长的取值范围为．

22．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点在棱上靠近点的三等分点处．

【解析】（1）证明：连接，

四边形为菱形，，

，分别为，的中点，即，

∴，

面为等边三角形，且为的中点，，

又面面，面，

面面，面，

又面，，

又，面，面，

又面，．

（2）解：设交于，交于，

则为的中点，为的中点，

在中，过点作交于点，则点即为所求．

理由如下：

，分别为，的中点，

，面，面，

面，同理面，

，､面，

面面，即面面，

面，面．

，，

故点在棱上靠近点的三等分点处