2021届中考数学专题专练之函数（九）二次函数C卷

2021届中考数学专题专练之函数（九）二次函数C卷

一、单选题

1.函数与.在同一直角坐标系中的大致图象可能是(   )

A. B. C. D.

2.抛物线的对称轴是直线(   )

A.  B.  C.  D.

3.如图，正方形四个顶点的坐标依次为，，，.若抛物线与正方形有公共点，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

4.已知抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点落在x轴上，点B平移后的对应点落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为(   )

A. B. C. D.

5.已知二次函数的图象经过与两点，关于x的方程有两个根，其中一个根是3.则关于x的方程有两个整数根，这两个整数根是(   )

A.-2或0 B.-4或2 C.-5或3 D.-6或4

6.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心距离地面的高度为3.05 m，在如图的平面直角坐标系中，下列说法正确的是(   )

A.此抛物线对应的函数表达式是

B.篮圈中心的坐标是

C.此抛物线的顶点坐标是

D.篮球出手时离地面的高度是2 m

7.已知二次函数的图像如图，有下列三个结论：

①，

②，

③，

其中正确的是(   )

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

8.如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线.下列结论：

①；

②；

③若点、点是函数图象上的两点，则；

④.

其中正确结论有(   )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题

9.科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表:

科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为_________.

10.二次函数的最大值为____________.

11.抛物线（为常数，）经过，两点.下列四个结论：
①一元二次方程的根为；
②若点在该抛物线上，则；
③对于任意实数，总有；
④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个.
其中正确的结论是_________（填写序号）.

三、解答题

12.如图,已知抛物线过点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点C是线段AB上一动点(不与点A,B重合),过点C作轴交抛物线于点D,则线段CD长的最大值是多少?
(3)点P是抛物线上一动点,点Q在x轴上,是否存在点P和点Q,使得以点O,B,P,Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出所有相应的点P和点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
 

参考答案

1.答案：B

解析：当时，函数的图象位于第一、三象限，函数的图象开口向下，顶点在y轴正半轴上，选项B符合题意；当时，函数的图象位于第二、四象限，函数的图象开口向上，顶点在y轴负半轴上，无选项符合题意.故选B.

2.答案：B

解析：，所以对称轴为直线.故选B.

3.答案：A

解析：当抛物线经过点时，；当抛物线经过点时，.观察图像可知，抛物线与正方形有公共点时，.故选A.

4.答案：A

解析：令可得，解得，可得.根据抛物线顶点坐标公式可得.由M平移后的对应点落在x轴上，点B平移后的对应点落在y轴上，可知抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度根据抛物线平移规律，可知平移后的抛物线为.故选A.

5.答案：B

解析：本题考查二次函数的图象与性质、函数与方程的关系.由题意可知抛物线的图象经过点、点拋物线的对称轴为直线又当方程有一个根为3时，抛物线经过点，抛物线与x轴的一个交点在1和3之间方程的一个整数解为又抛物线的对称轴为拋物线与x轴的另一个交点为方程的另一个整数解为故选B.

6.答案：A

解析：抛物线的顶点坐标为可设抛物线对应的函数表达式为篮圈中心在抛物线上，将它的坐标代入上式，得，，选项A正确；由题图可知，篮圈中心的坐标是，选项B错误；由题图可知，此抛物线的顶点坐标是选项C错误；设这次跳投时，球出手处离地面h m.，当时，这次跳投时，球出手处离地面2.25 m，选项D错误.故选A.

7.答案：A

解析：由图像开口向上，得，对称轴，得，图像与y轴的交点在x轴的上方，得，①正确；由图像，得时，，即，，②正确；由图像，得时，，即，③错误.故选A.

8.答案：D

解析：抛物线开口向下，.，.抛物线交y轴于正半轴，，，故①正确.观察题图可知，当时，，故②正确.对称轴为直线，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，，故③正确.由题意可知，抛物线与x轴的两交点的坐标分别为，二次函数的解析式为.抛物线与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），，故④正确.故选D.

9.答案：

解析：设l与t之间的函数关系式为.

把，，分别代入得，解得，，

当时，l取得最大值50，即当温度为时，最适合这种植物生长.

10.答案：11

解析：二次函数图像的顶点坐标是.当时，y随x的增大而增大，当时，；当时，y随x的增大而减小，当时，，二次函数的最大值为11.

11.答案：①③

解析：本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系.抛物线（为常数，）经过两点，当时，方程的两个根为，故①正确；该抛物线的对称轴为，函数图象开口向下，若点在该抛物线上，则，故②错误；当时，函数取得最大值，故对于任意实数，总有，即对于任意实数，总有，故③正确；对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则两个根为和1或和0或和，故的值有三个，故④错误，故正确的结论是①③.

12.答案：(1)将分别代入,
得解得
故抛物线的解析式为.
(2)设直线AB的解析式为,
将分别代入,
得
解得
故直线AB的解析式为.
设点C的坐标为,则,
,
故当时,CD的长取最大值,最大值为2.
(3)存在,或或或.
解法提示:设.
方法一(中点坐标法):a.当OB为平行四边形的对角线时,OB的中点与PQ的中点重合,
,
解②,得(不合题意,舍去),,
将代入①,得,
故.
b.当OP为平行四边形的对角线时,OP的中点与BQ的中点重合,
,
解④,得(不合题意,舍去),,
将代入③,得,
故.
c.当OQ为平行四边形的对角线时,OQ的中点与BP的中点重合,
,
解⑥,得,
将代人⑤,得,
将代人⑤,得,
故或.
综上所述,或或或.
方法二(平移法):a.当OP为平行四边形的一边时,
若OP平移后可得到BQ,则,
即,
解②,得,
将代入①,得,
将代入①,得,
故或.
若OP平移后可得到QB,则,
即,
解④,得(不合题意,舍去),,
将代入③,得,
故.
b.当OP为对角线时,OB平移后得到QP,
则,
即,
解⑥,得(不合题意,舍去),,
将代入⑤,得,
故.
综上所述,或或或.