人教版新课标A1.2 应用举例第1课时同步达标检测题

这是一份人教版新课标A1.2 应用举例第1课时同步达标检测题，共8页。

课时过关·能力提升
基础巩固
1在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=32,则AC= ( )
解析:在△ABC中,ACsinB=BCsinA,
得AC=BC·sinBsinA=32×2232=23.
答案:B
2在△ABC中,已知a=4,b=6,C=120°,则sin A的值为 ( )
解析:c2=a2+b2-2abcs C=42+62-2×4×6×cs 120°=76,则c=219.
由asinA=csinC,得sin A=asinCc=5719.
答案:A
3已知A,B两地相距10 km,B,C两地相距20 km,且∠ABC=120°,则A,C两地相距( )
A.10 km
B.103 km
C.105 km
D.107 km
答案:D
4如图,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A.a km
B.3a km
C.2a km
D.2a km
解析:由题意知,在△ABC中,AC=BC=a km,∠ACB=120°,
则AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cs∠ACB
=a2+a2-2a2cs 120°=3a2,
故AB=3a km.
答案:B
5如图,B,C两点在河的两岸,在河岸AC测量BC的距离有下列四组数据,较适宜测量的数据是( )
A.γ,c,α
B.b,c,α
C.c,α,β
D.b,α,γ
答案:D
6某人向正东方向走了x km后向右转了150°,然后沿新方向走了3 km,结果离出发点恰好为3 km,那么x的值为( ).
A.3
B.23
C.23或3
D.3
解析:如图,若设出发点为A,则有AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cs∠ABC,
则(3)2=x2+9-2x×3cs 30°,
解得x=23或x=3.
答案:C
7如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B,分别在A,B点望对岸的标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度CD为 .
解析:tan 30°=CDAD,tan 75°=CDDB,
又AD+DB=AB=120 m,
∴ADtan 30°=(120-AD)tan 75°.
∴AD=603 m.故CD=60 m.
答案:60 m
8一艘船在海上由西向东航行,在A处望见灯塔C在船的东北方向,半小时后在B处望见灯塔C在船的北偏东30°方向,航速为30海里/时,当船到达D处时望见灯塔C在船的西北方向,求A,D两点间的距离.
解如图,在△ABC中,A=45°,∠ABC=120°,AB=15,∠ACB=15°,
由正弦定理,得ACsin120°=15sin15°,
∴AC=32+62×15.
∴AD=2AC=15(3+3)(海里).
答:A,D两点间的距离是15(3+3)海里.
9海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为126 n mile;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°,距离为83 n mile;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在南偏东60°,求:
(1)A处与D处之间的距离;
(2)灯塔C与D处之间的距离.
解由题意,画出示意图.
(1)在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,B=45°,AB=126 n mile.
由正弦定理得AD=ABsin60°sin 45°=24(n mile).
(2)在△ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcs 30°
=242+(83)2-2×24×83×32=192,
故CD=83(n mile).
答:A处与D处之间的距离为24 n mile,灯塔C与D处之间的距离为83 n mile.
能力提升
1在△ABC中,已知B=60°,最大边与最小边的比为3+12,则三角形的最大角为( ).
A.60°B.75°C.90°D.115°
解析:设最大边为a,最小边为c,
则最大角为A,最小角为C,
且sinAsinC=sin(120°-C)sinC=3+12,
整理得tan C=1.
又0°∴A=180°-(B+C)=180°-(60°+45°)=75°.
答案:B
2如图,某炮兵阵地位于A点,两个观察所分别位于C,D两点.已知△ACD为等边三角形,且DC=3 km,当目标出现在B点时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标的距离约是( )
A.1.1 kmB.2.2 kmC.2.9 kmD.3.5 km
解析:∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.
在△BCD中,由正弦定理,
得BD=CDsin75°sin60°=6+22.
在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°.
由余弦定理,得
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcs 105°
=3+(6+2)24+2×3×6+22×6-24
=5+23.
则AB=5+23≈2.9(km).
故炮兵阵地与目标的距离约是2.9 km.
答案:C
3已知A船在灯塔C北偏东80°,且A到C的距离为2 km,B船在灯塔C北偏西40°,A,B两船的距离为3 km,则B到C的距离为 .
解析:如图所示,在△ABC中,∠ACB=40°+80°=120°,AB=3 km,AC=2 km.
设BC=a km.
由余弦定理,得cs∠ACB=BC2+AC2-AB22BC·AC,
即cs 120°=a2+4-94a,
解得a=6-1或a=-6-1(舍去),
即B到C的距离为(6-1)km.
答案:(6-1)km
★4某观测站C在A城的南偏西20°的方向,由A城出发有一条公路,公路走向是南偏东40°,在公路上测得距离C 31 km的B处有一人正沿公路向A城走去,走了20 km后到达D处,此时C,D之间相距21 km,问此人还要走多远才能到达A城?
解如图,∠CAB=60°,BD=20,CB=31,CD=21.
在△BCD中,由余弦定理,
得cs∠BDC=BD2+CD2-CB22BD·CD
=202+212-3122×20×21=-17,则sin∠BDC=437.
在△ACD中,∠ACD=∠BDC-∠CAD=∠BDC-60°.由正弦定理,得AD=CDsin∠ACDsin60°.
∵sin∠ACD=sin(∠BDC-60°)
=sin∠BDCcs 60°-cs∠BDCsin 60°=5314,
∴AD=21×531432=15(km).
答:此人还要走15 km才能到达A城.
★5如图,一人在C地看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西45°方向,此人向北偏西75°方向前进30 km到达D,看到A在他的北偏东45°方向,B在他的北偏东75°方向,试求这两座建筑物之间的距离.
解由题意得,DC=30,
∠ADB=∠BCD=30°=∠BDC,∠DBC=120°,∠ADC=60°,∠DAC=45°.
在△BDC中,由正弦定理,得
BC=DCsin∠BDCsin∠DBC=30sin30°sin120°=10.
在△ADC中,由正弦定理,得
AC=DCsin∠ADCsin∠DAC=30sin60°sin45°=35.
在△ABC中,
由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcs∠ACB=(35)2+(10)2-2×35×10×cs 45°=25,
解得AB=5.
答:这两座建筑物之间的距离为5 km.