高中数学人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和第1课时习题

这是一份高中数学人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和第1课时习题，共7页。

课时过关·能力提升
基础巩固
1等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于( ).
A.8B.10C.12D.14
答案:C
2数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n2-18n,则当Sn取得最小值时,n的值为( ).
A.4或5B.5或6C.4D.5
答案:A
3设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为( ).
A.15B.16C.49D.64
解析:a8=S8-S7=64-49=15.
答案:A
4已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于( ).
A.18B.36C.54D.72
解析:∵a4=18-a5,∴a4+a5=18.
∴S8=8(a1+a8)2=4(a4+a5)=4×18=72.
答案:D
5在等差数列{an}中,首项a1=0,公差d≠0,若ak=a1+a2+a3+…+a7,则k等于( ).
A.21B.22C.23D.24
解析:由题意得ak=a1+(k-1)d=(k-1)d,
a1+a2+a3+…+a7=21d,
所以(k-1)d=21d.
又d≠0,所以k-1=21,所以k=22.
答案:B
6已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=1,S5=10,则S7= .
解析:由S5=5(a1+a5)2=5(a3+a3)2=5a3=10,
得a3=2,故a4=3,S7=7(a1+a7)2=7a4=21.
答案:21
7已知数列{an}的前n项和Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式为 .
解析:当n=1时,a1=S1=21-3=-1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3-2n-1+3=2n-1.
又a1=-1不满足上式,故an=-1,n=1,2n-1,n≥2.
答案:an=-1,n=1,2n-1,n≥2
8《九章算术》是我国第一部数学专著,下有源自其中的一个问题:“今有金菙(chuí),长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问金菙重几何?”其意思为:“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺,截得本端1尺,重4斤,截得末端1尺,重2斤.问金杖重多少?”答案是 (斤、尺非国际通用单位).
解析:由题意可知等差数列中a1=4,a5=2,
则S5=(a1+a5)×52=(4+2)×52=15,
故金杖重15斤.
答案:15斤
9已知数列{an}是等差数列,且a2=1,a5=-5.
(1)求{an}的通项公式an;
(2)求{an}前n项和Sn的最大值.
解(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
由已知条件得a1+d=1,a1+4d=-5,解得a1=3,d=-2.
所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.
(2)(方法一)Sn=na1+n(n-1)2d
=-n2+4n=4-(n-2)2.
所以当n=2时,Sn取到最大值4.
(方法二)由an≥0,an+1<0得-2n+5≥0,-2(n+1)+5<0,
即32又S2=a1+a2=3+1=4,
所以当n=2时,Sn取得最大值4.
10已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.
(1)证明:an+2-an=λ;
(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
(1)证明由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,
两式相减,得an+1(an+2-an)=λan+1.
因为an+1≠0,所以an+2-an=λ.
(2)解由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.
由(1)知,a3=λ+1.
令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4.
由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.
因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.
能力提升
1在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S10=120,则a1+a10等于( ).
A.12B.24C.36D.48
解析:S10=10(a1+a10)2=120,故a1+a10=24.
答案:B
2等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=4,S3=9,则S4等于( ).
A.14B.19C.28D.60
解析:设等差数列{an}的公差为d,
则有a1+2d=4,3a1+3×(3-1)2d=9,解得a1=2,d=1,
则S4=4a1+4×(4-1)2d=14.
答案:A
3已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,Sn是等差数列{an}的前n项和,则使Sn取得最大值的n是( ).
A.21B.20C.19D.18
解析:设等差数列{an}的公差为d,
则a1+a1+2d+a1+4d=105,a1+d+a1+3d+a1+5d=99,
解得d=-2,a1=39.
则Sn=39n+n(n-1)2×(-2)=-n2+40n=-(n-20)2+400,所以当n=20时,Sn最大.
答案:B
★4等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m等于( )
A.38B.20C.10D.9
解析:S2m-1=(a1+a2m-1)×(2m-1)2=2am×(2m-1)2=(2m-1)am,
∵S2m-1=38,∴am≠0.
又am-1+am+1-am2=0,∴2am-am2=0.∴am=2.
∴(2m-1)×2=38,m=10.
答案:C
5已知数列{an}的通项公式an=-5n+2,则其前n项和Sn= .
解析:由于an+1-an=-5(n+1)+2-(-5n+2)=-5为常数,则数列{an}是等差数列.又a1=-5+2=-3,公差d=-5,则Sn=-3n+n(n-1)2×(-5)=-52n2-12n或者是Sn=n(a1+an)2=n(-3-5n+2)2=-52n2-12n.
答案:-52n2-12n
6在等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n= .
解析:设等差数列{an}的公差为d,则a3+a5=2a1+6d=2+6d=14,
解得d=2,则Sn=n+n(n-1)2×2=n2.
令Sn=100,即n2=100,解得n=10或n=-10(舍).
答案:10
7《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为今有女子善织布,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布.若第一天织5尺布,现在一个月(按30天计)共织390尺布,则该女最后一天织 尺布(尺、丈非国际通用单位).
解析:由题意得,织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列,设为{an},其中a1=5,前30项和为390,于是有30(5+a30)2=390,解得a30=21,即该织女最后一天织21尺布.
答案:21
★8已知数列{an},an∈N*,Sn是其前n项和,Sn=18(an+2)2.
(1)求证:{an}是等差数列;
(2)设bn=12an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.
(1)证明当n=1时,a1=S1=18(a1+2)2,解得a1=2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=18(an+2)2-18(an-1+2)2,即8an=(an+2)2-(an-1+2)2,
整理得(an-2)2-(an-1+2)2=0,
即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.
∵an∈N*,∴an+an-1>0,
∴an-an-1-4=0,
即an-an-1=4(n≥2).
故数列{an}是以2为首项,4为公差的等差数列.
(2)解设数列{bn}的前n项和为Tn,
∵bn=12an-30,
且由(1)知an=2+(n-1)×4=4n-2,
∴bn=12(4n-2)-30=2n-31.
故数列{bn}是单调递增的等差数列.
令2n-31=0,得n=1512.
∵n∈N*,∴当n≤15时,bn<0;
当n≥16时,bn>0,
即b1故当n=15时,Tn取得最小值,最小值为T15=-29-12×15=-225.