人教版新课标A必修5第一章 解三角形1.2 应用举例第3课时当堂达标检测题

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基础巩固
1某次测量中,A在B的南偏东34°27',则B在A的( )
A.北偏西34°27'B.北偏东55°33'
C.北偏西55°33'D.南偏西55°33'
解析:如图所示.
答案:A
2船在静水中的速度是40 m/min,水流的速度是20 m/min,如果船从岸边A处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为( )
A.15°B.30°
C.45°D.60°
解析:如图所示,sin∠CAB=2040=12,
故∠CAB=30°.
答案:B
3已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10°方向上B.北偏西10°方向上
C.南偏东10°方向上D.南偏西10°方向上
解析:如图,由题意,知AC=BC,∠ACB=80°,
∴∠CBA=50°,α+∠CBA=60°.
∴α=10°,即A在B的北偏西10°方向上.
答案:B
4如图,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°,与O相距10海里的C处,现甲船以30海里/时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船,甲船需要 小时到达B处.
解析:在△BOC中,OC=10,OB=20,∠BOC=120°,
∴BC=102+202-2×10×20cs120°=107.
∴甲船用时t=10730=73(小时).
答案:73
5如图所示,在斜度一定的山坡上的一点A处测得山顶上一座建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m后,又从点B测得其斜度为45°,假设建筑物高50 m,设山坡对于地平面的斜度为θ,则cs θ= .
解析:在△ABC中,AB=100,∠CAB=15°,∠ACB=45°-15°=30°.
由正弦定理,得100sin30°=BCsin15°,
故BC=200sin 15°.
在△DBC中,CD=50,∠CBD=45°,∠CDB=90°+θ.
由正弦定理,得50sin45°=200sin15°sin(90°+θ),
故cs θ=3-1.
答案:3-1
6一船向正北方向匀速行驶,看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上,继续航行半小时后,看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上,另一座灯塔在南偏西75°方向上,则该船的速度是 海里/时.
答案:10
7如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.
(1)求渔船甲的速度;
(2)求sin α的值.
解(1)在△ABC中,∠BAC=180°-60°=120°,AB=12,AC=10×2=20,∠BCA=α.
由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cs∠BAC=122+202-2×12×20×cs 120°=784,
解得BC=28.
所以渔船甲的速度为BC2=14(海里/时).
(2)在△ABC中,
因为AB=12,∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α,
由正弦定理,得ABsinα=BCsin120°,
即sin α=ABsin120°BC=12×3228=3314.
8某海轮以30海里/时的速度航行,在点A测得海面上油井P在南偏东60°的方向上,向北航行40分钟后到达点B,测得油井P在南偏东30°的方向上,海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达点C,求P,C间的距离.
解如图,在△ABP中,AB=30×4060=20,∠APB=30°,∠BAP=120°,
由ABsin∠BPA=BPsin∠BAP,得2012=BP32,
∴BP=203.
在△BPC中,BC=30×8060=40,
由已知,∠PBC=90°,
∴PC=BP2+BC2=(203)2+402=207(海里).
答:P,C间的距离为207海里.
能力提升
1在△ABC中,已知b2=ac,且a2-c2=ac-bc,则bsinBc的值为( )
解析:∵b2=ac,且a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc.
∴cs A=12.∴A=π3.
∵b2=ac,∴bc=ab.
∴bsinBc=ab·sin B=sinAsinB·sin B=sin A=32.
答案:B
2有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为6 m,下底长为10 m,高为23 m,则此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别为( )
A.33,60°B.3,60°
C.3,30°D.33,30°
解析:如图所示,横断面是等腰梯形ABCD,AB=10 m,CD=6 m,高DE=23 m,
则AE=AB-CD2=2 m,
∴tan∠DAE=DEAE=232=3,
∴∠DAE=60°.
答案:B
3平面内三个力F1,F2,F3作用于同一个点,且处于平衡状态,已知F1,F2的大小分别为1 N,
6+22 N,F1与F2的夹角为45°,则F3与F1的夹角是 .
解析:如图,设三力作用于点O,F1与F2的合力为F,由共点力平衡,得|F|=|F3|,
令OA=F1,OB=F2,OC=F,OD=F3.
∵∠AOB=45°,
∴∠CAO=135°.
在△OCA中,由余弦定理,得
OC2=OA2+AC2-2OA·AC·cs 135°=4+23,
∴OC=3+1,即|F3|=3+1.
又由正弦定理,得sin∠AOC=AC·sin∠CAOOC=12,
∴∠AOC=30°.∴∠AOD=150°.
∴F3与F1的夹角为150°.
答案:150°
4甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船速度是乙船速度的3倍,则甲船应向__________________方向航行才能追上乙船;追上乙船时甲船行驶了__________________海里.
解析:如图所示,设到点C甲船追上乙船,乙到C地用的时间为t,乙船速度为v,
则BC=tv,AC=3tv,B=120°,
由正弦定理知BCsin∠CAB=ACsinB,
∴1sin∠CAB=3sin120°,
∴sin∠CAB=12,∴∠CAB=30°,
∴∠ACB=30°,∴BC=AB=a.
∴AC2=AB2+BC2-2AB·BCcs 120°
=a2+a2-2a2·-12=3a2,
∴AC=3a.
答案:北偏东30° 3a
★5一人看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向,此人向北偏西70°方向行走3 km后,则见A在其北偏东56°方向,B在其北偏东74°方向,则AB≈ .(精确到0.1 km)
解析:设此人的初始位置是点O,如图所示.
在△BCO中,∠BOC=70°-30°=40°,∠BCO=(180°-70°)-74°=36°,
∴∠CBO=180°-40°-36°=104°.
由正弦定理,得COsin104°=BOsin36°,
∴BO=3sin36°sin104°.
在△AOC中,∠AOC=70°,∠CAO=56°,
∴∠ACO=54°.
由正弦定理,得COsin56°=AOsin54°,
∴AO=3sin54°sin56°.
在△AOB中,由余弦定理,知
AB=AO2+BO2-2·AO·BO·cs30°
≈1.6(km).
答案:1.6 km
6如图,当甲船位于A处时,获悉在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里的C处的乙船,试问乙船应朝北偏东约多少度的方向沿直线前往B处救援?(角度精确到1°)
解由已知,得∠CAB=90°+30°=120°,则∠ACB<90°.
在△ABC中,由余弦定理,得
BC2=202+102-2×20×10cs 120°=700,
∴BC=107(海里).
在△ABC中,根据正弦定理,
有sin∠ACB20=sin120°107,∴sin∠ACB=37.
又∠ACB<90°,∴∠ACB≈41°.
故乙船应朝北偏东大约41°+30°=71°方向沿直线前往B处救援.
★7如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点,现位于点A北偏东45°方向,点B北偏西60°方向的点D处有一艘轮船发出求救信号,位于点B南偏西60°相距203 海里的点C处的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,问该救援船到达点D需要多长时间?
解由题意,得∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,
故∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.
在△DAB中,由正弦定理,得DBsin∠DAB=ABsin∠ADB,
故DB=AB·sin∠DABsin∠ADB=5(3+3)·sin45°sin105°
=5(3+3)·sin45°sin45°cs60°+cs45°sin60°
=53(3+1)3+12=103(海里).
又∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°,BC=203海里,
故在△DBC中,由余弦定理,得
CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cs∠DBC
=300+1 200-2×103×203×12=900,
解得CD=30(海里).
则该救援船到达点D需要的时间t=3030=1(小时).