高中探究与发现 解三角形的进一步讨论第4课时同步练习题

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基础巩固
1在△ABC中,c=2,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为 ( )
答案:B
2已知三角形的面积为14,其外接圆的面积为π,则这个三角形的三边之积为( )
A.1B.2C.12D.4
答案:A
3已知锐角三角形ABC的面积为33,BC=4,CA=3,则角C的大小为( )
A.75°B.60°C.45°D.30°
解析:由S=12AC·BCsin C=33,得sin C=32,
又C为锐角,故C=60°.
答案:B
4已知三角形的两边之差为2,它们夹角的余弦值为35,面积为14,则这个三角形的这两边长分别是( )
A.3和5B.4和6
C.6和8D.5和7
解析:设a-b=2,cs C=35,sin C=45,
S△ABC=12absin C=14,故ab=35.
由a-b=2和ab=35,解得a=7,b=5.
答案:D
5已知△ABC的面积S=3,A=π3,则AB·AC=____________________.
解析:S=12|AB||AC|sin A,即12|AB||AC|sinπ3=3,
故|AB||AC|=4,
AB·AC=|AB||AC|cs A=4csπ3=2.
答案:2
6如图,一块四边形土地ABCD的三边AD=40 m,DC=30 m,CB=30 m,∠ADC=150°,∠DCB=120°,则该土地的面积约为 m2.(精确到0.01 m2)
答案:1 289.71
7已知a,b,c是△ABC的三边,其面积为14(a2+b2-c2),则角C= .
解析:由三角形的面积公式得
12absin C=14(a2+b2-c2),
所以sin C=a2+b2-c22ab=cs C.
所以tan C=1,所以C=π4.
答案:π4
8已知三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是方程5x2-7x-6=0的根,则三角形的第三边长为 .
解析:设三角形的第三边长为a(a>0).
解方程5x2-7x-6=0,
得x1=-35,x2=2(舍去).
因此已知两边夹角的余弦值为-35,由余弦定理,
得a2=52+32-2×5×3×-35=52.
故a=213,即所求边长为213.
答案:213
9在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acs B.
(1)证明:A=2B;
(2)若△ABC的面积S=a24,求角A的大小.
(1)证明由正弦定理,得sin B+sin C=2sin Acs B,
故2sin Acs B=sin B+sin(A+B)
=sin B+sin Acs B+cs Asin B.
于是sin B=sin(A-B).
又A,B∈(0,π),故0所以B=π-(A-B)或B=A-B,
因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.
(2)解由S=a24,得12absin C=a24,
故有sin Bsin C=12sin 2B=sin Bcs B.
由sin B≠0,得sin C=cs B.
又B,C∈(0,π),所以C=π2±B.
当B+C=π2时,A=π2;当C-B=π2时,A=π4.
综上,A=π2或A=π4.
能力提升
1在△ABC中,a=3,b=1,B=30°,则△ABC的面积S为( )
A.32
B.34
C.32或33
D.32或34
解析:由正弦定理asinA=bsinB,
得sin A=asinBb=3sin30°1=32,
所以A=60°或A=120°.
当A=60°时,C=90°,S=12ab=12×3×1=32;
当A=120°时,C=30°,
S=12absin C=12×3×1×sin 30°=34.
答案:D
2在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为32,则b等于( )
A.1+3B.1+32C.2+32D.2+3
解析:由12acsin 30°=32,得ac=6.
由余弦定理,得b2=a2+c2-2accs 30°=(a+c)2-2ac-3ac=4b2-12-63,得b=3+1.
答案:A
3如图所示,一块三角形土地ABC,AD是一条小路,BC=5 m,AC=4 m,cs∠CAD=3132,AD=BD,则该土地的面积是 m2.
解析:设CD=x m,则AD=BD=(5-x)m.
在△CAD中,由余弦定理,可知
cs∠CAD=(5-x)2+42-x22×4×(5-x)=3132,解得x=1.
∴CD=1 m,AD=BD=4 m.
在△CAD中,由正弦定理,可知ADsinC=CDsin∠CAD,
∴sin C=ADCD·1-cs2∠CAD=41-31322=378.
∴S△ABC=12AC·BC·sin C=12×4×5×378=1574(m2).
答案:1574
4在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,证明:a2-b2c2=sin(A-B)sinC.
证明由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccs A,
b2=a2+c2-2accs B.
两式相减,得a2-b2=b2-a2+2c(acs B-bcs A),
即a2-b2=c(acs B-bcs A),
则a2-b2c2=acsB-bcsAc=accs B-bccs A.
由正弦定理asinA=bsinB=csinC,
得ac=sinAsinC,bc=sinBsinC.
故a2-b2c2=sinAcsB-sinBcsAsinC=sin(A-B)sinC.
★5在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cs C+(cs A-3sin A)cs B=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范围.
解(1)由已知得-cs(A+B)+cs Acs B-3sin Acs B=0,即有sin Asin B-3sin Acs B=0.
因为sin A≠0,所以sin B-3cs B=0,
又cs B≠0,所以tan B=3.
因为0(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accs B.
因为a+c=1,cs B=12,
所以b2=3a-122+14.
又06如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.
(1)若PB=12,求PA;
(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.
解(1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.
在△PBA中,由余弦定理,得
PA2=3+14-2×3×12cs 30°=74.
故PA=72.
(2)设∠PBA=α,则∠PCB=∠PBA=α,
由已知得PB=sin α.
在△PBA中,由正弦定理,得3sin150°=sinαsin(30°-α),
化简得3cs α=4sin α.
所以tan α=34,即tan∠PBA=34.