数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式第2课时巩固练习

这是一份数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式第2课时巩固练习，共8页。试卷主要包含了5 mB，2 m，9万元,年维修费第一年是0等内容，欢迎下载使用。

基础巩固
1已知p,q∈R,若pq=100,则p2+q2的最小值是 ( ).
A.200B.100C.50D.20
解析:p2+q2≥2pq=200,当且仅当p=q=10或p=q=-10时,等号成立.
答案:A
2在下列函数中,最小值为2的是( ).
A.y=x+1x
B.y=3x+3-x
C.y=lg x+1lgx(0D.y=sin x+1sinx0解析:选项A中,由于x可能为负,因此y=x+1x最小值不是2;选项B中,3x,3-x都大于零,且3x+3-x≥23x·3-x=2,当且仅当3x=3-x,即x=0时,等号成立,故B正确;选项C中,lg x<0,因此最小值不是2;选项D中,由于sin x∈(0,1),故sin x+1sinx取不到最小值2.
答案:B
3若a≥0,b≥0,且a+b=2,则( ).
A.ab≤12
B.ab≥12
C.a2+b2≥2
D.a2+b2≤3
解析:取a=1,b=1,则ab=1,排除A项;取a=0,b=2,则ab=0,a2+b2=4,排除B,D两项,故选C.
答案:C
4将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( ).
A.6.5 mB.6.8 m
C.7 mD.7.2 m
解析:设直角三角形框架的两直角边分别为a m,b m,则ab=4.
所用铁丝长度l=a+b+a2+b2≥2ab+2ab
=4+22≈6.828,
当且仅当a=b=2时取等号.
答案:C
5两直角边之和为4的直角三角形面积的最大值等于 .
答案:2
6如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,若它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上、下空白各宽2 dm,左、右空白各宽1 dm,则四周空白部分面积的最小值是 dm2.
答案:56
7有一块半径为2 m的半圆形钢板,若裁成矩形的钢板,则矩形钢板的最大面积为 m2.
解析:设垂直于直径的边长为x m,
则另一边长为24-x2 m,
则S=2x4-x2,S2=4x2(4-x2)≤4×x2+4-x222=4×22=16,当且仅当x2=4-x2,即x=2时,等号成立,
故当x=2时,S=4,即S的最大值为4.
答案:4
8已知a,b,c都是实数,求证:a2+b2+c2≥13(a+b+c)2.
证明因为a,b,c∈R,
所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac.
将以上三式两边分别相加,得
2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca),
在上式两边同时加上a2+b2+c2,得
3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,
即a2+b2+c2≥13(a+b+c)2.
9某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,如果要求框架围成的总面积为8 m2,那么x,y分别为多少时用料最省?
解由题意得14x2<8,xy+14x2=8(x>0,y>0),
则y=8x-x4(0则框架用料长度为l=2x+2y+2×22x=32+2x+16x≥46+42=8+42,
当且仅当32+2x=16x,即x=8-42时,等号成立,此时y=22.
因此,当x=8-42,y=22时用料最省.
10若a>0,b>0,且1a+1b=ab.
(1)求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
解(1)由ab=1a+1b≥2ab,得ab≥2,且当a=b=2时,等号成立.
故a3+b3≥2a3b3≥42,当且仅当a=b=2时,等号成立.
所以a3+b3的最小值为42.
(2)由(1)知,2a+3b≥26ab≥43.
由于43>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.
能力提升
1若a,b是实数,且a+b=3,则2a+2b的最小值是( ).
A.6
B.42
C.26
D.8
解析:2a+2b≥22a·2b=22a+b=223=42,当且仅当2a=2b,即a=b=32时,等号成立.
答案:B
2在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,若OC=1,OA=x,OB=y,x+y=4,则三棱锥O-ABC体积的最大值是( ).
解析:V=13·OA·S△OBC=13·OA·12·OB·OC=13·x·12·y·1=16xy.
因为x+y=4,x>0,y>0,
所以4=x+y≥2xy,所以xy≤4.
所以V=16xy≤23,当且仅当x=y=2时,等号成立.
答案:A
3某公司租地建仓库,每月租金y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1与y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 千米处.
解析:设仓库建在离车站d千米处,
设y1=k1d,y2=k2d,
由y1=2=k110,得k1=20,∴y1=20d.
由y2=8=10k2,得k2=45,∴y2=45d.
∴y1+y2=20d+4d5≥220d·4d5=8,
当且仅当20d=4d5,即d=5时,两项费用之和最小.
答案:5
4一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于v202千米,这批货物全部运到B市,最快需要 小时(不计货车的身长).
解析:设这批货物从A市全部运到B市的时间为t,则
t=400+16v202v=400v+16v400≥2400v×16v400=8(小时),
当且仅当400v=16v400,即v=100时等号成立,
此时t=8小时.
答案:8
★5某种汽车的购车费用为10万元,每年的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元.求这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少.
解设汽车使用x年时,它的年平均费用最少.由年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元,可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列,因此,汽车使用x年时总的维修费用为x(0.2+0.2x)2万元.
设汽车的年平均费用为y万元,
则y=10+0.9x+x(0.2+0.2x)2x=10+x+0.1x2x
=1+10x+x10≥1+210x·x10=3,
当且仅当10x=x10,即x=10时,y取得最小值.
故这种汽车使用10年时,它的年平均费用最少.
★6(1)已知a,b,c>0,求证:a2b+b2c+c2a≥a+b+c;
(2)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:1a+1b+1ab≥8.
证明(1)∵a,b,c,a2b,b2c,c2a均大于0,
∴a2b+b≥2a2b·b=2a,当且仅当a2b=b,即a=b时等号成立;
b2c+c≥2b2c·c=2b,当且仅当b2c=c,即b=c时等号成立;
c2a+a≥2c2a·a=2c,当且仅当c2a=a,即a=c时等号成立.
以上三式相加得a2b+b+b2c+c+c2a+a≥2a+2b+2c,
当且仅当a=b=c时等号成立.
∴a2b+b2c+c2a≥a+b+c.
(2)1a+1b+1ab=1a+1b+a+bab=21a+1b.
∵a+b=1,a>0,b>0,
∴1a+1b=a+ba+a+bb=2+ab+ba≥2+2=4,
∴1a+1b+1ab≥8当且仅当a=b=12时等号成立.
7如图,公园想建一块面积为144平方米的矩形草地,一边靠墙,另外三边用铁丝网围住,现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余),若利用x米墙,
(1)求x的取值范围;
(2)求最少需要多少米铁丝网.(精确到0.1米)
解(1)由于矩形草地的面积是144平方米,一边长是x米,则另一边长为144x米,
则矩形草地所需铁丝网长度为y=x+2×144x.
令y=x+2×144x≤44(x>0),解得8≤x≤36,
故x的取值范围是[8,36].
(2)由基本不等式,得y=x+288x≥242,
当且仅当x=288x,即x≈17.0时,等号成立,
则ymin=242≈34.0,
故最少需要约34.0米铁丝网.