高中数学人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和第2课时课后测评

第2课时　等差数列的综合应用

课时过关·能力提升

基础巩固

1一个等差数列共有10项,其偶数项之和是15,奇数项之和是12.5,则它的首项与公差分别是(　　).

A

答案:A

2等差数列{an}共有3m项,若前2m项的和为200,前3m项的和为225,则中间m项的和为(　　).

A.25 B.75 C.100 D.125

解析:∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,

∴Sm+S3m-S2m=2(S2m-Sm).

∴3Sm=3S2m-S3m=600-225,∴Sm=125.

∴中间m项的和为S2m-Sm=200-125=75.

答案:B

3现有200根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,如果使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为(　　)

A.9 B.10 C.19 D.20

解析:设堆放成n层正三角形钢管垛时可使剩余钢管最少,由题意可

∵满n所取的最大值为19,

又当n=19200-190=10.

故选B.

答案:B

4在等差数列{an}中,a3+a9+a15=21,则S17=　　　　　. 

解析:∵a3+a9+a15=3a9=21,∴a9=7.

∴S1a9=17×7=119.

答案:119

5等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,

解析:

答案:

6在等差数列{an}中,a1+a2=2,a3+a4=4,则a5+a6=　　　　　. 

解析:由题意得,2,4,a5+a6成等差数列,

∴2+a5+a6=2×4.∴a5+a6=6.

答案:6

7某渔业公司今年年初购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要维修费12万元,从第二年起维修费比上一年增加4万元,则前10年维修费的总和是　　　　　万元. 

解析:设第n年的维修费是an(万元),则an+1-an=4(万元),则每年的维修费构成以a1=12,d=4的等差数列{an},所以前10年的维修费的总和是S10=10a1).

答案:300

8已知在数列{an}中,an=2n-19,求数列{|an|}的前n项和Sn.

解∵an=2n-19,∴由an≥0,得n≥

∴当n≤9时,an<0;当n≥10时,an>0.

当n≤9时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|

=-(a1+a2+…+an)=

=

当n≥10时,Sn=|a1|+|a2|+…+|a9|+|a10|+…+|an|

=-(a1+a2+…+a9)+a10+a11+…+an

=-2(a1+a2+…+a9)+a1+a2+…+an

=-2

=-9(-17-1)

∴Sn

9已知等差数列{an}的前3项分别为a-1,4,2a,记前n项和为Sn.

(1)设Sk=2 550,求a和k的值;

(2)设bn

解(1)由已知得a1=a-1,a2=4,a3=2a.

∵a1+a3=2a2,∴(a-1)+2a=8,即a=3,

∴a1=2,公差d=a2-a1=2.

由Sk=ka12k550,

即k2+k-2 550=0,

解得k=50或k=-51(舍去),∴a=3,k=50.

(2)由Sn=na1

Sn=2n

∴{bn}是等差数列.

∴b3+b7+b11+…+b4n-1=(3+1)+(7+1)+(11+1)+…+(4n-1+1)

∴b3+b7+b11+…+b4n-1=2n2+2n.

能力提升

1在等差数列{an}中,已知a3∶a5=3∶4,

A

解析:

答案:D

2设Sn是等差数列{an}的前n项和,

A

解析:

∴S6-S3=2S3,S9-S6=S9-3S3.

∵S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,

∴S9-S6=3S3,S9=6S3,S12-S9=4S3,

∴S12=10S3,

答案:A

3已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和之比∈N*),

A

解析:设数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,

答案:C

4设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(　　).

A.3 B.4 C.5 D.6

解析:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,

∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,

am+1=Sm+1-Sm=3-0=3.

∴d=am+1-am=3-2=1.

∵Sm=m

又∵am+1=a1+m×1=3,∴

∴m=5.故选C.

答案:C

5在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为　　　　　. 

解析:S

S.

∵a1+a2n+1=a2+a2n,

n=10.

答案:10

6在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成(如图),最高层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,请问:

(1)第9圈共有多少块石板?

(2)前9圈一共有多少块石板?

分析由于“每一圈比前一圈多9块”,因此每一圈的石板块数便组成了等差数列,而前9圈石块总数,便是该数列的前9项的和.

解(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an},

由题意可知{an}是等差数列,其中a1=9,d=9,n=9.

由等差数列的通项公式,得第9圈有石板

a9=a1+(9-1)·d=9+(9-1)×9=81(块).

(2)由等差数列前n项和公式,得前9圈一共有石板

S9=9a1).

故第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板.

★7设数列{an}满足a1=0,.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设bnSn=b1+b2+b3+…+bn.证明:Sn<1.

(1)解由题

1的等差数列.

an=

(2)证明由(1)得bn

∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=

∵n∈N*,

.

Sn<1.