高中数学第一章 解三角形综合与测试同步测试题

第一章检测(A)

(时间:90分钟　满分:120分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1已知在△ABC中,c=6,a=4,B=120°,则b等于(　　).

A.76 

B.

解析:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=42+62-2×4×6cos 120°=76,

所以b=

答案:B

2在△ABC中,sin A△ABC的外接圆的半径R=2,则a等于(　　).

A

解析:A=2×2sin A

答案:B

3在△ABC中,已知b

A

C

解析:由b2=a2+c2-2accos B,得2=a2+1-2acos 45°,

解得aa).

答案:B

4△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B△ABC的面积为(　　).

A.

C.

解析:A=π-(B+C)=π

由正弦定理

则a

故S△ABCC

答案:B

5若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC(　　).

A.一定是锐角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形

D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

解析:由sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13及正弦定理,

得a∶b∶c=5∶11∶13.

设a=5t,b=11t,c=13t,由余弦定理,

得cos CC为钝角.

答案:C

6在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2

A.30° B.60° C.120° D.150°

解析:利用正弦定理,sin C=B可化为c=

所以cos A

所以A=30°.

答案:A

7△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,b

A.

解析:由正弦定

又∵B=2A,

∴cos A

∴B=60°,C=90°,∴c

答案:B

8△ABC的三边分别为a,b,c且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为(　　).

A.

解析:∵S△ABCB,∴c=

由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B

=12+2-2×1×45°=25,

∴b=5.

由正弦定理得2RR为△ABC外接圆的半径).

答案:C

9在锐角三角形ABC中,BC=1,B=2A,则AC的取值范围是(　　).

A.[-2,2] B.[0,2] 

C.(0,2] D.

解析:∵△ABC是锐角三角形,

∴B=2A<90°,C=180°-3A<90°,

即30°<A<45°.

AC·BC=2cos A.

又30°<A<45°,∴AC∈

答案:D

10如图,一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这艘船航行的速度为 (　　).

A

B.3

C

D.3

解析:由题意知PM=68海里,∠MPN=120°,∠N=45°.由正弦定理,

∴MN=68).

∴速度/时).

答案:A

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)

11在△ABC中,A=45°,C=105°,BC

解析:B=180°-A-C=30°,由正弦定理,AC·BC

答案:1

12在△ABC中,BC=3,AB=2,

解析:由a=3,c=2,

知b

故cos A

答案:120°

13在△ABC中,若B=60°,a=1,S△ABC

解析:把已知条件代入面积公式

S△ABCB得c=2.

由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=3,故b

由正弦定理,

答案:2

14如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从点A测得点M的仰角     ∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=　　　　　. 

解析:在Rt△ABC中,由于∠CAB=45°,BC=100 m,

所以AC=10m.

在△MAC中,∠AMC=180°-75°-60°=45°,

由正弦定理可

于是MAm).

在Rt△MNA中,∠MAN=60°,

于是MN=MA·sin∠MAN=10m),

即山高MN=150 m.

答案:150 m

15如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB

解析:设BD=a,则BC=2a,AB=AD

在△ABD中,由余弦定理,得

cos A

又A为△ABC的内角,∴sin A

在△ABC中,由正弦定理

∴sin C·sin A

答案:

三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16(8分)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin B

(1)求角A的大小;

(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.

解(1)由2asin B

得sin A

因为A是锐角,所以A

(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36.

又b+c=8,所以bc

由三角形面积公式SA,得△ABC的面积

17(8分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos C

(1)求证:A=B;

(2)若△ABC的面积S

(1)证明由余弦定理,得cos A

所以c=2b·c2=b2+c2-a2,

所以a2=b2.所以a=b,所以A=B.

(2)解由(1)知a=b.

因为cos C

所以sin C

因为△ABC的面积S

所以SCa=b=5.

由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=10,

所以c

18(9分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b(b+c).

(1)求证:A=2B;

(2)若a△ABC的形状.

(1)证明因为a2=b(b+c),即a2=b2+bc,

所以在△ABC中,由余弦定理,

可得cos B

所以sin A=sin 2B,所以A=2B或A+2B=180°.

当A+2B=180°时,因为A+B+C=180°,

所以B=C,所以b=c.

由a2=b(b+c),得a2=b2+c2,

即A=90°,B=45°.故A=2B.

(2)解因为a

由a2=b(b+c),可得c=2b,

cos B

所以B=30°,A=2B=60°,C=90°,

所以△ABC为直角三角形.

19(10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,

(1)证明:sin Asin B=sin C;

(2)若b2+c2-a2

(1)证明根据正弦定理,可k>0).

则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,代,

变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=

sin(A+B).

在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.

(2)解由已知,b2+c2-a

根据余弦定理,有cos A

所以sin A

由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,

所BBB,

故tan B

20(10分)在△ABC中,a,b,c为△ABC的三边长,a2-a-2b-2c=0,a+2b-2c+3=0,求△ABC中最大角的度数.

解∵a2-a-2b-2c=0,∴b+ca-1).①

∵a+2b-2c+3=0,∴b-c=a+3).②

解①②组成的方程

得ba-3)(a+1),③

ca2+3).④

由②知b<c,由③知a>3,

c-aa2+3)-aa2-4a+3)

a-1)(a-3)>0,

∴c>a,故c为最大边,角C为最大角.

在△ABC中,

由余弦定理的推论,得cos C

C=120°.