数学人教版新课标A1.1 任意角和弧度制综合训练题

1.1　任意角和弧度制

1.1.1　任意角

课时过关·能力提升

基础巩固

1.-215°是(　　)

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

解析:因为-215°=-360°+145°,而145°是第二象限角,所以-215°也是第二象限角.

答案:B

2.在下列各个角中,与2 019°角终边相同的是(　　)

A.-219° B.-140°

C.219° D.140°

解析:∵2 019°=360°×5+219°,

∴与2 019°角终边相同的是219°,故选C.

答案:C

3.与-457°角终边相同的角的集合是(　　)

A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}

B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}

C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}

D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}

答案:C

4.已知α是第二象限角,则2α的终边在(　　)

A.第一、二象限 B.第二象限

C.第三、四象限 D.以上都不对

解析:∵α是第二象限角,

∴k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z,

∴2k·360°+180°<2α<2k·360°+360°,k∈Z,

∴2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.

答案:D

5.若钟表的时针走过1小时50分钟,则分针转过的角度是 (　　)

A.-660° B.-600° C.600° D.660°

解析:∵50÷60=,∴360°×=300°.

∵时针和分针都是顺时针旋转,

∴时针走过1小时50分钟,分针转过的角度为-660°.

答案:A

6.在-360°~720°之间,与-367°角终边相同的角是　　　　　　　　　　. 

解析:与-367°角终边相同的角可表示为α=k·360°-367°,k∈Z.当k=1,2,3时,α=-7°,353°,713°,这三个角都是符合条件的角.

答案:-7°,353°,713°

7.终边落在图中阴影部分(不包括边界)的角的集合为　                                            . 

解析:在0°~360°内,终边落在阴影部分的角的范围是120°<α<225°,所以终边落在阴影部分的角的集合为{β|k·360°+120°<β<k·360°+225°,k∈Z}.

答案:{β|k·360°+120°<β<k·360°+225°,k∈Z}

8.在平面直角坐标系中画出下列各角:

(1)-180°;　　　　(2)1 070°.

解:在平面直角坐标系中画出各角如图.

9.在-720°~720°范围内,用列举法写出与60°角终边相同的角的集合S.

解:与60°角终边相同的角的集合为{α|α=60°+k·360°,k∈Z},令-720°≤60°+k·360°<720°(k∈Z),得k=-2,-1,0,1,相应的角为-660°,-300°,60°,420°,从而S={-660°,-300°,60°,420°}.

10.已知α=-1 910°.

(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;

(2)求角θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.

解:(1)∵-1 910°=-6×360°+250°,

∴β=250°,即α=250°-6×360°.

又250°是第三象限角,∴α是第三象限角.

(2)θ=250°+k·360°(k∈Z).

∵-720°≤θ<0°,∴-720°≤250°+k·360°<0°,

解得-≤k<-.又k∈Z,∴k=-1或k=-2.

∴θ=250°-360°=-110°或θ=250°-2×360°=-470°.

能力提升

1.下列说法正确的是(　　)

A.钝角必是第二象限角,第二象限角必是钝角

B.第三象限的角必大于第二象限的角

C.小于90°的角是锐角

D.-95°20',984°40',264°40'是终边相同的角

答案:D

2.若A={α|α=k·360°,k∈Z},B={α|α=k·180°,k∈Z},C={α|α=k·90°,k∈Z},则下列关系正确的是(　　)

A.A=B=C B.A=B∩C

C.A∪B=C D.A⊆B⊆C

答案:D

3.若α是第三象限的角,则180°-是(　　)

A.第一或第二象限的角

B.第一或第三象限的角

C.第二或第三象限的角

D.第二或第四象限的角

解析:∵α是第三象限的角,

∴k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,

∴k·180°+90°<<k·180°+135°,k∈Z,

∴-k·180°-135°<-<-k·180°-90°,k∈Z,

∴-k·180°+45°<180°-<-k·180°+90°,k∈Z,

故当k为偶数时,180°-是第一象限角;当k为奇数时,180°-是第三象限角.

答案:B

4.已知α为第三象限角,则是第　　　　　象限角. 

解析:∵α是第三象限角,∴k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,∴k·120°+60°<<k·120°+90°,k∈Z.

∵k·120°+60°角的终边在第一象限、x轴非正半轴、第四象限,k·120°+90°角的终边在y轴非负半轴、第三象限、第四象限,∴是第一、第三或第四象限角.

答案:一、第三或第四

5.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界),则角α组成的集合为 　　　　　　　　　　. 

解析:由题图知,将x轴绕原点分别旋转30°与150°得边界,故终边在阴影内的角的集合为{α|k·180°+30°<α<k·180°+150°,k∈Z}.

答案:{α|k·180°+30°<α<k·180°+150°,k∈Z}

6.★若角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,则角α=　　　　　. 

解析:∵5α与α的始边和终边分别相同,∴这两角的差应是360°的整数倍,即5α-α=4α=k·360°(k∈Z).

∴α=k·90°(k∈Z).

又180°<α<360°,令180°<k·90°<360°(k∈Z),

则2<k<4,∴k=3,α=270°.

答案:270°

7.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.

解:由题意可知,α+β=-280°+k·360°,k∈Z.

∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°.

取k=1,得α+β=80°.①

由题意可知,α-β=670°+k·360°,k∈Z.

∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°.

取k=-2,得α-β=-50°.②

由①②,得α=15°,β=65°.

8.★已知集合M={α|k·180°+30°<α<k·180°+120°,k∈Z},N={β|k·360°+90°<β<k·360°+270°,k∈Z},求M∩N.

解:∵M={α|k·180°+30°<α<k·180°+120°,k∈Z},

∴当k=2n(n∈Z)时,M={α|n·360°+30°<α<n·360°+120°,n∈Z}.

又N={β|k·360°+90°<β<k·360°+270°,k∈Z},

∴M∩N={x|k·360°+90°<x<k·360°+120°,k∈Z}.

当k=2n+1(n∈Z)时,M={α|n·360°+210°<α<n·360°+300°,n∈Z},

又N={β|k·360°+90°<β<k·360°+270°,k∈Z},

∴M∩N={x|k·360°+210°<x<k·360°+270°,k∈Z},

∴M∩N={x|k·360°+90°<x<k·360°+120°或k·360°+210°<x<k·360°+270°,k∈Z}.