高中数学人教版新课标A必修41.2 任意的三角函数练习题

1.2.2　同角三角函数的基本关系

课时过关·能力提升

基础巩固

1.已知cos α=,则sin2α等于(　　)

A. B.± C. D.±

解析:sin2α=1-cos2α=.

答案:A

2.已知α为锐角,sin α=,则tan α等于(　　)

A. B. C. D.

解析:∵α为锐角,∴cos α=.

∴tan α=.

答案:D

3.已知sin α-cos α=-,则sin α·cos α等于(　　)

A. B.- C.- D.

解析:因为sin α-cos α=-,平方可得1-2sin αcos α=,所以2sin αcos α=-,即sin αcos α=-.

答案:C

4.在△ABC中,tan A=-,则cos A的值是(　　)

A. B.- C. D.-

解析:∵tan A=-,且A是△ABC的内角,∴A是钝角.

∵=-,

∴sin A=-cos A.

又sin2A+cos2A=1,

∴cos2A+cos2A=1,cos2A=,cos A=-.

答案:B

5.若=-5,则tan α的值为(　　)

A.-2 B.2 C. D.-

解析:=-5,解得tan α=-.

答案:D

6.若sin θ=-,tan θ>0,则cos θ=　　　　　. 

解析:∵sin θ=-<0,tan θ>0,

∴θ是第三象限角,

∴cos θ<0,

∴cos θ=-=-=-.

答案:-

7.已知cos α+2sin α=-,则tan α=　　　　　. 

解析:由得(sin α+2)2=0,

∴sin α=-,cos α=-,∴tan α=2.

答案:2

8.已知A为锐角,且lg(1+cos A)=m,lg=n,则lg sin A的值为　　　　　. 

解析:由lg(1+cos A)=m,得1+cos A=10m.

由lg=n,得1-cos A=10-n.

故(1+cos A)(1-cos A)=10m-n,

即1-cos2A=10m-n,

即sin2A=10m-n,sin A=1,

所以lg sin A=.

答案:

9.求证:.

证明左边=,右边=,

即左边=右边.

故原式成立.

10.已知2cos2α+3cos αsin α-3sin2α=1,求下列各式的值:

(1)tan α;

(2).

解:(1)2cos2α+3cos αsin α-3sin2α

=

=,

则=1,

即4tan2α-3tan α-1=0,

解得tan α=-或tan α=1.

(2)原式=,

当tan α=-时,原式=;

当tan α=1时,原式=.

能力提升

1.已知tan α>0,且sin α+cos α<0,则(　　)

A.cos α>0 B.cos α<0

C.cos α=0 D.cos α的符号不确定

解析:∵tan α=>0,

∴>0,即sin α与cos α的符号相同.

又sin α+cos α<0,∴cos α<0.

答案:B

2.若α∈[0,2π),且=sin α-cos α,则角α的取值范围是(　　)

A. B. C. D.

解析:∵

=

=|sin α|+|cos α|=sin α-cos α,

∴sin α≥0,cos α≤0.

又α∈[0,2π),∴α∈.

答案:B

3.若非零实数m,n满足tan α-sin α=m,tan α+sin α=n,则cos α等于(　　)

A. B. C. D.

解析:已知条件中的两等式联立,

得

解得

则cos α=.

答案:A

4.★已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,则sin θcos θ的值为(　　)

A. B.- C. D.-

解析:由sin4θ+cos4θ=,

得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=.

∴sin2θcos2θ=.

∵θ是第三象限角,

∴sin θ<0,cos θ<0,

∴sin θcos θ=.

答案:A

5.化简sin2α+sin2β-sin2αcos2β-sin2αsin2β的结果为　　　　　. 

解析:原式=(sin2α-sin2αcos2β)+(sin2β-sin2αsin2β)=sin2α(1-cos2β)+sin2β(1-sin2α)=sin2αsin2β+sin2βcos2α=sin2β(sin2α+cos2α)=sin2β.

答案:sin2β

6.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边过点P(3,4),则=　　　　　. 

解析:根据角α的终边过点P(3,4),利用三角函数的定义可以求得tan α=,所以=10.

答案:10

7.已知sin θ=asin φ,tan θ=btan φ,其中θ为锐角,求证:cos θ=.

证明由题意知a=,b=.

右边=,

整理,得

右边==|cos θ|.

因为θ为锐角,所以右边=cos θ=左边.

故原等式成立.

8.★已知sin α+cos α=,其中0<α<π,求sin α-cos α的值.

解:∵sin α+cos α=,

∴(sin α+cos α)2=,

即1+2sin αcos α=,

∴sin αcos α=-.

∵0<α<π,且sin αcos α<0,∴sin α>0,cos α<0.

∴sin α-cos α>0.

又(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,

∴sin α-cos α=.