数学必修4第三章 三角恒等变换综合与测试随堂练习题

第三章检测(A)

(时间:90分钟　满分:120分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知cos(α+β)+cos(α-β)=,则cos αcos β的值为 (　　)

A. B. C. D.

解析:由题意,得cos αcos β-sin αsin β+cos αcos β+sin αsin β=2cos αcos β=,所以cos αcos β=.

答案:D

2.sin 47°cos 43°+sin 137°sin 43°等于(　　)

A.0 B.1 C.-1 D.

解析:sin 47°cos 43°+sin 137°sin 43°=sin 47°cos 43°+cos 47°sin 43°=sin 90°=1.

答案:B

3.函数y=3sin x-3cos x的最大值是(　　)

A.3+3 B.4 C.6 D.3

解析:y=3sin x-3cos x=6sin,则最大值是6.

答案:C

4.若tan α=2tan ,则=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:∵cos=cos=sin,

∴原式=

=.

又∵tan α=2tan ,∴原式==3.

答案:C

5.函数f(x)=1-2sin2,则f=(　　)

A.- B.- C. D.

解析:f(x)=1-2sin2=cos 2=cos=-sin 2x,

则f=-sin=-sin=-.

答案:A

6.已知sin(30°+α)=,60°<α<150°,则cos α=(　　)

A. B. C. D.

解析:∵60°<α<150°,∴90°<α+30°<180°.

∵sin(30°+α)=,

∴cos(30°+α)=-=-,

则cos α=cos[(30°+α)-30°]

=cos(30°+α)cos 30°+sin(30°+α)sin 30°

=-,故选A.

答案:A

7.设α∈,β∈,且tan α=,则(　　)

A.3α-β= B.3α+β= 

C.2α-β= D.2α+β=

答案:C

8.已知sin α-cos α=,α∈(0,π),则tan α=(　　)

A.-1 B.- C. D.1

解析:将sin α-cos α=两边平方得sin2α-2sin αcos α+cos2α=2,即sin αcos α=-,

则=-,

整理得2tan α+tan2α+1=0,即(tan α+1)2=0,

所以tan α=-1.故选A.

答案:A

9.已知2sin θ=1+cos θ,则tan的值为(　　)

A.2 B.

C.或不存在 D.2或不存在

解析:若1+cos θ≠0,则tan;

若1+cos θ=0,即cos θ=-1,

∴θ=2kπ+π(k∈Z),+kπ(k∈Z).

∴tan 不存在.

答案:C

10.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=-2的两个相邻交点间的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是(　　)

A.,k∈Z 

B.,k∈Z

C.,k∈Z 

D.,k∈Z

解析:f(x)=2sin,由题意得f(x)的最小正周期T=π,∴ω==2,∴f(x)=2sin,令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,则f(x)的单调递增区间是,k∈Z.

答案:D

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)

11.设向量a=(4sin α,3),b=(2,3cos α),且a∥b,则锐角α=　　　　　. 

解析:∵a∥b,∴12sin αcos α-6=0.∴sin 2α=1.

∴2α=+2kπ(k∈Z),则α=+kπ(k∈Z).

又α为锐角,则α=.

答案:

12.已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=,则cos 2β=　　　　　. 

解析:因为sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=sin [(α-β)-α]=sin(-β)=-sin β=,所以sin β=-,

则cos 2β=1-2sin2β=1-2×.

答案:

13.设向量a=,b=,若a∥b,则sin的值是　　　　　. 

解析:因为a∥b,所以sin α,

所以cos α+sin α,所以sin,

所以sin=sin=-cos=2sin2-1=-1=-.

答案:-

14.已知tan 2θ=,则的值为　　　　　. 

解析:∵π<θ<,∴tan θ>0.

∵tan 2θ=,∴,解得tan θ=.

∴=2.

答案:2

15.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),若m·n=1+cos(A+B),则C=　　　　. 

解析:∵m·n=sin Acos B+cos Asin B

=sin(A+B)=1+cos(A+B),

∴sin(A+B)-cos(A+B)=sin C+cos C

=2sin=1.

∴sin.

∴+C=+C=(舍去).

∴C=.

答案:

三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(8分)化简:.

解:原式=

=

=cos 2x.

17.(8分)已知sinsin,且α∈,求tan 4α的值.

解:∵sinsin

=(cos α+sin α)×(cos α-sin α)

=(cos2α-sin2α)=cos 2α=,

∴cos 2α=.

∵α∈,∴2α∈(π,2π).

∴sin 2α=-.∴tan 2α=-2.

故tan 4α=.

18.(9分)已知函数f(x)=sin 2x-cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期和最小值;

(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.当x∈时,求g(x)的值域.

解:(1)f(x)=sin 2x-cos2x=sin 2x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin,因此f(x)的最小正周期为π,最小值为-.

(2)由条件,可知g(x)=sin.

当x∈时,有x-,从而sin的值域为,

那么sin的值域为.

故g(x)在区间上的值域是.

19.(10分)如图,将一块圆心角为120°,半径为20 cm的扇形铁片裁成一块矩形,有两种裁法,让矩形一边在扇形的一半径OA上(如图①)或让矩形一边与弦AB平行(如图②),请问哪种裁法得到的矩形的面积最大?请求出这个最大值.

解:对于题图①,MN=20sin θ,ON=20cos θ,

所以S1=ON·MN=400sin θcos θ=200sin 2θ,

所以当sin 2θ=1,即θ=45°时,=200 cm2.

对于题图②,MQ=40sin(60°-α),MN=sin α,

所以S2=.

当cos(2α-60°)=1,即2α-60°=0,

即α=30°时, cm2.

因为>200,所以用题图②这种裁法得到的矩形面积最大,为 cm2.

20.(10分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈.

(1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;

(2)若f=0,f(π)=1,求a,θ的值.

解:(1)f(x)=sincos(sin x+cos x)-sin x=cos x-sin x=sin,

因为x∈[0,π],从而-x∈.

故f(x)在[0,π]上的最大值为,最小值为-1.

(2)由

又θ∈,知cos θ≠0,解得