高中数学人教版新课标A必修4第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念练习

2.1　平面向量的实际背景及基本概念

课时过关·能力提升

基础巩固

1.已知非零向量a,b满足a∥b,则下列说法错误的是(　　)

A.a=b  B.它们方向相同或相反

C.所在直线平行或重合 D.都与零向量共线

答案:A

2.下列说法正确的个数为(　　)

①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量;

②零向量没有方向;

③向量的模一定是正数;

④非零向量的单位向量是唯一的.

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:①错误.只有速度、位移是向量;

②错误.零向量有方向,它的方向是任意的;

③错误.|0|=0;

④错误.非零向量a的单位向量有两个:一个与a同向,一个与a反向.

答案:A

3.设O为△ABC外接圆的圆心,则是(　　)

A.相等向量 B.平行向量

C.模相等的向量 D.起点相同的向量

解析:∵O是△ABC外接圆的圆心,

∴OA=OB=OC,∴||=||=||.

答案:C

4.如图,在四边形ABCD中,,且||=||,则四边形ABCD为　　　　　. 

解析:∵,

∴四边形ABCD为平行四边形.

又||=||,

∴平行四边形ABCD为菱形.

答案:菱形

5.如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点或终点,与相等的向量是　　　　　. 

解析:设线段AD的长度为3,则||=2,与的方向相同且模等于2的向量仅有.

答案:

6.如图,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则||=　　　　　. 

答案:

7.如图,O是正六边形ABCDEF的中心,且=a,则(1)图中与a平行的向量是　　　　　;(2)图中与a相等的向量是　　　　. 

答案:(1)　(2)

8.给出以下五个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是　　　　　.(填序号) 

解析:共线向量指的是方向相同或相反的向量,它只涉及方向,不涉及大小.很明显仅有①③④.

答案:①③④

9.一个人从点A出发沿东北方向走了100 m到达点B,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达点C.

(1)画出;

(2)求||.

解:(1)如图.

(2)||=100 m,||=100 m,∠ABC=45°+15°=60°,则△ABC为正三角形.

故||=100 m.

能力提升

1.已知向量a,b是两个非零向量,分别是与a,b同方向的单位向量,则以下各式正确的是(　　)

A. B.

C. D.的长度相等

解析:因为a与b的方向关系不确定且a≠0,b≠0,又与a同方向,与b同方向,所以的方向关系不确定,所以A,B,C均不对.

又均为单位向量,所以||=||=1.

答案:D

2.在四边形ABCD中,,||≠||,则四边形ABCD是(　　)

A.梯形 B.平行四边形

C.矩形 D.正方形

解析:∵,∴AB∥CD.

又∵||≠||,∴AB≠CD.

∴四边形ABCD是梯形.

答案:A

3.如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论不一定成立的是(　　)

A.||=|| B.共线

C.共线 D.

解析:由题意知||=||,共线,又,∴A,B,D恒成立;又+2,

∴共线不一定成立.故选C.

答案:C

4.已知四边形ABCD是矩形,设点集M={A,B,C,D},集合T={|P,Q∈M,且P,Q不重合},用列举法表示集合T=　　　　　. 

解析:∵从A,B,C,D四个点中任选两点为起点和终点组成的向量中,,

∴T={}.

答案:{}

5.在平面内给定一个四边形ABCD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.求证:.

分析:转化为证明||=||,且的方向相同.

证明如图,连接AC,则EF?AC,HG?AC,

∴EF?HG.

∴||=||,且的方向相同.∴.

6.在如图的方格纸上(每个小方格边长均为1),已知向量a.

(1)试以B为起点画一个向量b,使b=a;

(2)画一个以C为起点的向量c,使|c|=2,并说出c的终点的轨迹是什么.

分析:用有向线段表示向量,要注意起点、方向、长度.

解:(1)根据相等向量的定义,所作向量应与a方向相同,且长度相等,如图.

(2)满足条件的向量c可以是图中的,所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心,2为半径的圆,如图.

7.★一架飞机从点A向西北方向飞行200 km到达点B,再从点B向东飞行100 km到达点C,最后从点C向南偏东60°方向飞行了50 km到达点D,求飞机从点D飞回点A的位移.

解:如图,由|BC|=100知C在A的正北方向,

又由|CD|=50,∠ACD=60°,

知∠CDA=90°,

即∠DAC=30°,

故的方向为南偏西30°,长度为50 km.