高中数学人教版新课标A必修42.5 平面向量应用举例习题

2.5.2　向量在物理中的应用举例

课时过关·能力提升

基础巩固

1.一艘船从点A出发,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,船实际行驶速度的大小为4 km/h,则河水的流速的大小为(　　)

A.1 km/h B. km/h C.2 km/h D.2 km/h

解析:设河流的速度为x km/h,河流的速度方向与河岸平行,则x2+(2)2=42,解得x=2.

答案:C

2.两个质点M,N的位移分别为sM=(4,-3),sN=(-5,-12),则sM在sN方向上的投影为(　　)

A.(-1,-15) B.(-20,36)

C. D.

解析:sM·sN=4×(-5)+(-3)×(-12)=16,|sM|=5,|sN|=13,则sM在sN方向上的投影为.

答案:C

3.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为(　　)

A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9)

解析:F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设合力F的终点为P(x,y),则+F=(1,1)+(8,0)=(9,1).

答案:A

4.已知向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示(　　)

A.向东北方向航行2 km

B.向北偏东30°方向航行2 km

C.向北偏东60°方向航行2 km

D.向东北方向航行(1+) km

解析:a与b的夹角为90°,则a·b=0,

则|a+b|===2,

a·(a+b)=|a|2+a·b=1.

设a与a+b的夹角为θ,则

cos θ=,

∴θ=60°,

即a+b表示向北偏东30°方向航行2 km.

答案:B

5.一条河宽为800 m,一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间为　　　　　min. 

解析:∵v实际=v船+v水=v1+v2,|v1|=20 km/h,|v2|=12 km/h,

∴|v实际|===16(km/h).

∴所需时间t==0.05(h)=3(min).

∴该船到达B处所需的时间为3 min.

答案:3

6.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m,且F与s的夹角为60°,则力F所做的功W=　　　　　 J. 

解析:W可以看成向量F与向量s的数量积,则W=F·s=|F||s|cos 60°=6×100×=300(J).

答案:300

7.用两条成120°夹角的等长的绳子悬挂一个灯箱,如图,已知灯箱的重为10 N,则每根绳子的拉力大小为                                          .  

解析:结合图形,由向量加法的平行四边形法则,又绳子等长,故平行四边形为菱形,知拉力大小为10 N.

答案:10 N

8.点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P0的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为　　　　　　　　　　. 

解析:由题意知,=5v=(20,-15),

设点P的坐标为(x,y),则

解得点P的坐标为(10,-5).

答案:(10,-5)

9.如图,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.

求:(1)|F1|,|F2|随θ角的变化而变化的情况;

(2)当|F1|≤2|G|时,θ角的取值范围.

解:(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得-G=F1+F2,|F1|=,|F2|=|G|tan θ,

当θ从0°趋向于90°时,|F1|,|F2|都逐渐增大.

(2)令|F1|=,由|F1|≤2|G|得cos θ≥.

又因为0°≤θ<90°,

所以0°≤θ≤60°.

能力提升

1.速度|v1|=10 m/s,|v2|=12 m/s,且v1与v2的夹角为60°,则v1与v2的合速度的大小是(　　)

A.2 m/s B.10 m/s

C.12 m/s D.2 m/s

解析:|v|2=|v1+v2|2=|v1|2+2v1·v2+|v2|2

=100+2×10×12cos 60°+144=364.

∴|v|=2(m/s).

答案:D

2.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:N)的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为(　　)

A.2 B.2 

C.2 D.6

解析:∵F1+F2+F3=0,∴F3=-F1-F2,

∴|F3|=|-F1-F2|====2.

答案:A

3.一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°方向移动了8 m.已知|F1|=2 N,方向为北偏东30°,|F2|=4 N,方向为北偏东60°,|F3|=6 N,方向为北偏西30°,则这三个力的合力所做的功为(　　)

A.24 J B.24 J C.24 J D.24 J

解析:如图,建立直角坐标系,

则F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3),

则F=F1+F2+F3=(2-2,2+4).

又位移s=(4,4),故合力F所做的功为W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=4×6=24(J),故选D.

答案:D

4.河水的流速为2 m/s,一艘小船以10 m/s的速度沿垂直于对岸的方向行驶,则小船在静水中的速度大小为　　　　　m/s. 

解析:设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,

则v=v1+v2,|v1|=2 m/s,|v|=10 m/s.

所以|v2|=|v-v1|==2(m/s).

答案:2

5.已知向量e1=(1,0),e2=(0,1).今有动点P,从P0(1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度大小为|e1+e2|;另一动点Q,从Q0(-2,-1)开始沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度大小为|3e1+2e2|.设P,Q在时刻t=0时分别在P0,Q0处,则当时,t=　　　　　. 

解析:=(-3,-3),设经过t后,此时点P的坐标为(1+t,2+t),点Q的坐标为(3t-2,2t-1),

所以=(2t-3,t-3).

因为,

所以-3(2t-3)+(-3)(t-3)=0,

所以t=2.

答案:2

6.已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),试求:

(1)F1,F2分别对质点所做的功;

(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.

解:=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).

(1)F1对质点所做的功

F1·=(3,4)·(-13,-15)

=3×(-13)+4×(-15)

=-99,

F2对质点所做的功

F2·=(6,-5)·(-13,-15)

=6×(-13)+(-5)×(-15)

=-3.

(2)合力F对质点所做的功

F·=(F1+F2)·

=[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)

=(9,-1)·(-13,-15)

=9×(-13)+(-1)×(-15)

=-117+15

=-102.

7.★在风速为75()km/h的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.

解:设向量a表示风速,b表示无风时飞机的航行速度,c表示有风时飞机的航行速度,则c=a+b.

如图,作向量=a,=b,=c,则四边形OACB为平行四边形.

过C,B分别作OA的垂线,交AO的延长线于D,E点.由已知得,||=75(),||=150,∠COD=45°.

在Rt△COD中,OD=OCcos 45°=75,CD=75.

又ED=BC=OA=75(),

∴OE=OD+ED=75.

又BE=CD=75,

∴在Rt△OEB中,OB==150,

sin∠BOE=,

∴||=150,∠BOE=30°.

故没有风时飞机的航速为150 km/h,航向为西偏北30°.