高中数学人教A必修4综合检测

模块综合检测

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.cos 660°等于(　　)

A.- B.- C. D.

解析:cos 660°=cos(-60°+2×360°)=cos(-60°)=cos 60°=,故选C.

答案:C

2.若tan(α-3π)>0,sin(-α+π)<0,则α是(　　)

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

解析:由已知得tan α>0,sin α<0,

∴α是第三象限角.

答案:C

3.若一工件是扇形,其圆心角的弧度数为2,且该扇形弧所对的弦长也是2,则这个工件的面积为(　　)

A. B. C. D.

解析:由题意,得扇形的半径为.又由扇形的面积公式,得该扇形的面积为×2×.

答案:A

4.已知△ABC的边BC上有一点D满足=2,则可表示为(　　)

A. B.

C. D.

解析:由题得)=.

答案:C

5.已知a=,b=,c=a+kb,d=a-b,c与d的夹角是,则k的值为(　　)

A.- B.-3

C.-3或- D.-1

解析:c=,d=(0,1).

cos,

解得k=-3或-.

答案:C

6.将函数y=cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是(　　)

A. B. 

C. D.

解析:y=cos x+sin x=2cos,向左平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=2cos的图象.

因为该图象关于y轴对称,

所以m-=kπ(k∈Z),

即m=kπ+,

故当k=0时,m取得最小值.

答案:B

7.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是(　　)

A.|a·b|≤|a||b|

B.|a-b|≤||a|-|b||

C.(a+b)2=|a+b|2

D.(a+b)·(a-b)=a2-b2

解析:当a与b为非零向量且反向时,B显然错误.

答案:B

8.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m(A>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的函数解析式是(　　)

A.y=4sin

B.y=2sin+2

C.y=2sin+2

D.y=2sin+2

解析:由得A=2,m=2.

又∵T=,

∴ω==4,

∴ωx+φ=4x+φ.

∵x=是其图象的一条对称轴,

∴π+φ=kπ+(k∈Z),

∴φ=kπ-π.

当k=1时,φ=,

∴y=2sin+2.

答案:D

9.已知向量=(2,0),=(0,2),=(cos θ,sin θ),则||的取值范围是(　　)

A.[1,2] 

B.[2,4]

C.[2-1,2+1] 

D.[2,2+1]

解析:由题意知,=(2-cos θ,-2-sin θ),

所以||=

=

=∈[],

即||∈[2-1,2+1].

答案:C

10.已知函数f(x)=Asin,x∈R,A>0,y=f(x)的部分图象如图,P,Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的横坐标为1.若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,则A=(　　)

A. B.2 

C.1 D.2

解析:函数f(x)的周期为T==6,

∴Q(4,-A).

又∠PRQ=,

∴直线RQ的倾斜角为,

∴=-,A=.

答案:A

11.若动直线x=a与函数y=sin和y=sin的图象分别交于M,N两点,则|MN|的最大值为(　　)

A.1 B. 

C. D.2

解析:|MN|=

=

=|cos 2a|≤.

答案:C

12.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)=(　　)

A.- B. 

C.- D.

解析:因为α∈,

所以2α∈(0,π).

因为cos α=,

所以cos 2α=2cos2α-1=-,

所以sin 2α=.

又α,β∈,

所以α+β∈(0,π),

所以sin(α+β)=,

所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=.

答案:D

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)

13.已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为　　　　　. 

解析:设扇形的弧长为l cm,半径为r cm,则l=2r.

又l+2r=8,

∴2r+2r=8,

即r=2(cm).

∴扇形的面积S=lr=×4×2=4(cm2).

答案:4 cm2

14.函数y=3-的定义域为　　　　　. 

解析:由2cos≥0,得2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).

答案:(k∈Z)

15.已知非零实数a,b满足关系式=tan ,则的值是　　　　　. 

解析:由题可得

=tan=tan =tan,

其中sin θ=,cos θ=,

所以θ=+kπ,k∈Z,

所以=tan θ=tan=tan .

答案:

16.已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=　　　　　. 

解析:如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx的图象.A,B为符合条件的两交点.

则A,B,由|AB|=2,得=2,解得=2,即ω=.

答案:

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知sin+sin.

(1)求sin α的值;

(2)求的值.

解:(1)∵sin+sin,

∴sin α=.

∴sin α=.

(2)∵

=

=,

∴原式=.

18.(12分)已知电流I与时间t的关系式为I=Asin(ωt+φ).

(1)如图是I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图象,根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式;

(2)如果t在任意一个长度为的区间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值,那么ω的最小正整数值是多少?

解:(1)因为周期T=2×,

ω==150π.

又A=300,

所以I=300sin(150πt+φ).

将点的坐标代入上式,

得sin=0.

因为|φ|<,

所以φ-=0,φ=,

即所求的解析式为I=300sin.

(2)如果t在任意一个长度为的区间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值,那么必须满足,即ω≥300π≈942,所以ω的最小正整数值是943.

19.(12分)设在平面上有两个向量a=(cos 2α,sin 2α)(0≤α<π),b=,a与b不共线.

(1)求证:向量a+b与a-b垂直;

(2)当向量a+b与a-b的模相等时,求α的大小.

(1)证明由已知得|a|==1,|b|==1,

则(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,

所以a+b与a-b垂直.

(2)解由|a+b|=|a-b|两边平方,得3|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+3|b|2,

∴2(|a|2-|b|2)+4a·b=0.

而|a|=|b|,

∴a·b=0.

∴cos 2α+sin 2α=0,

即sin=0,

∴2α+=kπ(k∈Z).

又0≤α<π,

∴α=或α=.

20.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为.

(1)求tan(α+β)的值;

(2)求α+2β的值.

解:由已知得cos α=,cos β=.

∵α,β为锐角,

∴sin α=,

sin β=.

∴tan α=7,tan β=.

(1)tan(α+β)==-3.

(2)∵tan 2β=,

∴tan(α+2β)==-1.

∵α,β为锐角,

∴0<α+2β<.

∴α+2β=.

21.(12分)已知点A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈.

(1)若||=||,求角α的值;

(2)若=-1,求的值.

解:(1)∵=(cos α-3,sin α),=(cos α,sin α-3),

∴||=,

||=.

由||=||,得sin α=cos α.

又∵α∈,

∴α=.

(2)由=-1,得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1.

∴sin α+cos α=.①

又

=2sin αcos α.

由①式两边平方,得1+2sin αcos α=,

∴2sin αcos α=-.

∴=-.

22.(12分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB∥OQ,OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC交于点C.

(1)当θ=时,求点A的位置,使矩形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积;

(2)当θ=时,求点A的位置,使平行四边形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积.

解:(1)连接OA,设∠AOB=α,

则OB=cos α,AB=sin α.

∴矩形面积S=OB·AB=sin αcos α.

∴S=sin 2α.

由于0<α<,

∴当2α=,

即α=时,S最大=.

∴A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为.

(2)连接OA,设∠AOP=α,过A点作AH⊥OP,垂足为H.在Rt△AOH中,AH=sin α,OH=cos α.

在Rt△ABH中,=tan 60°=,

∴BH=sin α.

∴OB=OH-BH=cos α-sin α.

设平行四边形ABOC的面积为S,

则S=OB·AH=sin α

=sin αcos α-sin2α=sin 2α-(1-cos 2α)

=sin 2α+cos 2α-

=

=sin.

由于0<α<,

∴当2α+,

即α=时,S最大=.

∴当A是的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为.