高中数学人教版新课标A必修41.2 任意的三角函数当堂检测题

第2课时　三角函数线

课时过关·能力提升

基础巩固

1.下列各式正确的是(　　)

A.sin 1>sin B.sin 1<sin

C.sin 1=sin D.sin 1≥sin

解析:1和的终边均在第一象限,且的正弦线大于1的正弦线,则sin 1<sin.

答案:B

2.角和角有相同的(　　)

A.正弦线 B.余弦线 C.正切线 D.不能确定

解析:结合图象易知正切线相同.

答案:C

3.如果MP和OM分别是的正弦线和余弦线,那么下列结论正确的是(　　)

A.MP<OM<0 B.MP<0<OM

C.OM<0<MP D.OM<MP<0

解析:由图易知OM<0<MP.

答案:C

4.若α是第一象限角,由三角函数线知sin α+cos α的值与1的大小关系是(　　)

A.sin α+cos α>1 B.sin α+cos α=1

C.sin α+cos α<1 D.不确定

解析:设角α的终边与单位圆交于点P.作出正弦线MP、余弦线OM,则MP>0,OM>0,OP=1,且线段MP,OM,OP构成直角三角形,所以MP+OM>OP=1.

即sin α+cos α=MP+OM>1.

答案:A

5.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段,则角α的终边(　　)

A.在x轴上

B.在y轴上

C.在直线y=x上

D.在直线y=x或y=-x上

答案:B

6.已知角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线相等,且符号相同,则α的值为　　　　　. 

解析:因为角α的正弦线与余弦线相等,且符号相同,所以角α的终边落在第一或第三象限的角平分线上,故α的值为.

答案:

7.不等式sin x≥的解集是　                              . 

解析:如图,画出单位圆,作x轴的平行直线y=,交单位圆于两点P1,P2,连接OP1,OP2,分别过点P1,P2作x轴的垂线,画出如图的两条正弦线,易知这两条正弦线的值都等于.

在[0,2π)内,sin=sin.由于sin x≥,

因此满足条件的角x的终边在图中阴影部分,故不等式的解集为+2kπ≤x≤.

答案:

8.已知角α的正弦线和余弦线的长度相等,且α的终边在第二象限,则tan α=　　　　　. 

解析:设角α终边上的一点为P(x,y),则y=-x,所以tan α==-1.

答案:-1

9.在单位圆中画出满足cos α=的角α的终边,并写出角α组成的集合.

解:如图,作直线x=交单位圆于点M,N,连接OM,ON,则OM,ON为α的终边.

由于cos,cos,因此点M在的终边上,点N在的终边上,

则α=+2kπ或α=+2kπ,k∈Z.

所以角α组成的集合为

S=+2kπ或α=.

10.求函数y=的定义域.

解:要使函数有意义,自变量x的取值需满足

-1-2cos x≥0,得cos x≤-,

则+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.

所以函数的定义域是.

能力提升

1.已知θ∈,在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP,OM,AT,则它们的大小关系是(　　)

A.MP>OM>AT B.AT>MP>OM

C.AT>OM>MP D.MP>AT>OM

解析:画出角θ的正弦线、余弦线、正切线,由图知OM<MP<AT.

答案:B

2.若α是三角形的一个内角,且sin α+cos α=,则这个三角形是(　　)

A.等边三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.钝角三角形

解析:若α是锐角,则sin α+cos α>1,与sin α+cos α=矛盾,若α是直角,则sin α+cos α=1.所以α是钝角.

答案:D

3.已知cos α≤sin α,则角α的终边落在第一象限内的范围是(　　)

A.

B.

C.,k∈Z

D.,k∈Z

解析:如图,由余弦线长度|OM|不大于正弦线长度|MP|可知,角α的终边落在图中的阴影区域,故选C.

答案:C

4.函数y=log2(sin x)的定义域是　                                       . 

解析:如图,MP是角x的正弦线,由题意有sin x=MP>0.

∴MP的方向向上,

∴角x的终边在x轴的上方.

∴2kπ<x<2kπ+π,k∈Z,

即函数y=log2(sin x)的定义域是{x|2kπ<x<2kπ+π,k∈Z}.

答案:{x|2kπ<x<2kπ+π,k∈Z}

5.若0<α<2π,且sin α<,cos α>.利用三角函数线,得到角α的取值范围是　　　　　　　　　　. 

解析:利用三角函数线得α的终边落在如图∠AOB区域内(不含x轴非负半轴),所以α的取值范围是.

答案:

6.★求证:当α∈时,sin α<α<tan α.

证明如图,

设角α的终边与单位圆相交于点P,单位圆与x轴正半轴交点为A,过点A作圆的切线交OP的延长线于点T,过点P作PM⊥OA于点M,连接AP,则

在Rt△POM中,sin α=MP.

在Rt△AOT中,tan α=AT.

又根据弧度制的定义,有=α·OP=α,

易知S△POA<S扇形POA<S△AOT,即OA·MP<·OA<OA·AT,即sin α<α<tan α.