2021学年1.4 三角函数的图象与性质巩固练习

第2课时　正弦函数、余弦函数的性质

课时过关·能力提升

基础巩固

1.函数y=(　　)

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数

解析:定义域为R,f(-x)==-f(x),则f(x)是奇函数.

答案:A

2.下列关系式正确的是(　　)

A.sin 11°<cos 10°<sin 168°

B.sin 168°<sin 11°<cos 10°

C.sin 11°<sin 168°<cos 10°

D.sin 168°<cos 10°<sin 11°

解析:∵sin 168°=sin(180°-168°)=sin 12°,cos 10°=sin 80°,sin 11°<sin 12°<sin 80°,

∴sin 11°<sin 168°<cos 10°.

答案:C

3.下列函数中,周期为π,且在上为减函数的是 (　　)

A.y=sin 

B.y=cos

C.y=sin 

D.y=cos

解析:只有选项A和B中函数的周期为π.

又当x∈时,2x+,

所以y=sin上是减函数.

答案:A

4.若α,β均为锐角,且sin α>cos β,则(　　)

A.α>β B.α<β

C.α+β> D.α+β<

解析:sin α>cos β=sin.

∵β是锐角,∴-β也是锐角.

又α是锐角,且函数y=sin x在上单调递增,∴α>-β,即α+β>.

答案:C

5.函数y=2sin x-1的值域是　　　　　. 

解析:∵x∈R,∴-1≤sin x≤1.

∴-3≤2sin x-1≤1.

∴y∈[-3,1].

答案:[-3,1]

6.函数y=3-2cos的最大值为　　　　　,此时自变量x的取值集合是　　　　　　　　　　　. 

解析:当cos=-1时,ymax=3-2×(-1)=5.

此时x的取值集合为{x|x=3kπ+π,k∈Z}.

答案:5　{x|x=3kπ+π,k∈Z}

7.函数y=sin的图象的对称中心坐标是　　　　　　　　,对称轴方程是　　　　　　　　. 

解析:y=sin=-sin.

由x-=kπ,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z.所以该函数图象的对称中心坐标为,k∈Z.

由x-=kπ+,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z,

所以该函数图象的对称轴方程是x=kπ+,k∈Z.

答案:,k∈Z　x=kπ+,k∈Z

8.函数f(x)=x+sin x,x∈R,若f(a)=1,则f(-a)=　　　　　. 

答案:-1

9.求函数y=2sin的单调递增区间.

解:y=2sin=-2sin.

令2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z),得

2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).

故函数y=2sin的单调递增区间为

(k∈Z).

10.求函数y=sin x,x∈的最大值和最小值.

解:因为函数y=sin x在区间上是增函数,在区间上是减函数,所以函数y=sin x在区间上的最大值是sin=1,最小值是sin;函数y=sin x在区间上的最大值是sin=1,最小值是sin π=0.

故函数y=sin x,x∈的最大值是1,最小值是0.

能力提升

1.已知A={x|y=sin x},B={y|y=sin x},则A∩B等于 (　　)

A.{y=sin x} 

B.{x|-1≤x≤1}

C.{x|x=2π} 

D.R

解析:A=R,B={y|-1≤y≤1},

则A∩B={y|-1≤y≤1}.

答案:B

2.函数f(x)=-cos xln x2的部分图象大致是图中的 (　　)

解析:函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-cos(-x)ln(-x)2=-cos xln x2=f(x),则函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,排除选项C和D;当x∈(0,1)时,cos x>0,0<x2<1,则ln x2<0,f(x)>0,此时函数f(x)的图象位于x轴的上方,排除选项B.

答案:A

3.函数y=的最小值是(　　)

A.2 B.-2 C.1 D.-1

解析:y==2-.

∵-1≤sin x≤1,∴1≤sin x+2≤3,

∴≤1,∴-4≤-≤-.

∴-2≤2-.

答案:B

4.★若函数y=sin x的定义域为[a,b],值域为,则b-a的最大值和最小值之和等于(　　)

A. B. C.2π D.4π

解析:由正弦曲线知,当b=,a=-时,b-a最小,其值为;当b=,a=-时,b-a最大,最大值为.

故b-a的最大值和最小值之和为=2π.

答案:C

5.函数y=3sin的单调递减区间是　　　　　. 

解析:令+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,

则kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.

答案:(k∈Z)

6.若关于x的方程cos2x-sin x+a=0有解,则a的取值范围是　　　　　　　　. 

解析:a=sin x-cos2x=sin x-(1-sin2x)=sin2x+sin x-1=,因为-1≤sin x≤1,所以a的取值范围是.

答案:

7.求函数y=cos+1的最大值及此时自变量x的取值集合.

解:∵x∈R,∴-1≤cos≤1.

∴cos+1≤.

∴函数y=cos+1的最大值是,

此时2x-=2kπ(k∈Z),∴x=kπ+(k∈Z).

即此时自变量x的取值集合是.

8.★已知函数f(x)=2asin+a+b的定义域是,值域是[-5,1],求a,b的值.

解:∵0≤x≤,∴≤2x+,

∴-≤sin≤1.

∴当a>0时,解得

当a<0时,解得

因此a=2,b=-5或a=-2,b=1.