高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课后作业题

3.1.1　两角差的余弦公式

课时过关·能力提升

基础巩固

1.化简cos 15°cos 45°+cos 75°sin 45°的值为(　　)

A. B. C.- D.-

解析:cos 15°cos 45°+cos 75°sin 45°

=cos 15°cos 45°+sin 15°sin 45°

=cos(15°-45°)=cos(-30°)=.

答案:B

2.已知sin<α<,则cos α的值是(　　)

A. B. C. D.

解析:∵<α<,∴+α<π.

又sin,∴cos=-.

∴cos α=cos=coscos+sinsin=-.

答案:A

3.若sin(π+θ)=-,θ是第二象限角,sin=-,φ是第三象限角,则cos(θ-φ)的值是(　　)

A.- B. C. D.

答案:B

4.cos等于(　　)

A.-cos α B.cos α

C.cos α+sin α D.cos α-sin α

解析:cos=coscos α+sinsin α=cos α+sin α.

答案:C

5.cos 39°cos 9°+sin 39°sin 9°等于(　　)

A. B. C.- D.-

解析:cos 39°cos 9°+sin 39°sin 9°=cos(39°-9°)=cos 30°=.

答案:B

6.cos 555°的值为(　　)

A. B.- C. D.

解析:cos 555°=cos(360°+195°)=cos(180°+15°)

=-cos 15°=-cos(45°-30°)

=-(cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°)

=-.

答案:B

7.已知cos α=,α∈,则cos=　　　　　. 

解析:由cos α=,α∈,得

sin α=-=-=-,

所以cos=cos αcos+sin αsin=.

答案:

8.已知α为钝角,β为锐角,满足cos α=-,sin β=,则α-β=　　　　　. 

解析:由已知sin α=,cos β=,

∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-=-=-.

∵α是钝角,β是锐角,

∴0<α-β<π,

∴α-β=.

答案:

9.cos(61°+2α)cos(31°+2α)+sin(61°+2α)sin(31°+2α)=　　　　　. 

解析:原式=cos[(61°+2α)-(31°+2α)]=cos 30°=.

答案:

10.求函数f(x)=sin x+cos x的最大值.

解:∵f(x)==cos,

∴f(x)的最大值为.

能力提升

1.已知α∈,sin α=,则cos等于(　　)

A. B. C.- D.-

解析:∵α∈,∴cos α>0.

∴cos α=.

∴cos=coscos α+sinsin α=.

答案:A

2.已知sin α+sin β=,cos α+cos β=,则cos(α-β)的值为(　　)

A. B. C. D.-

解析:由已知,得(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2==1,所以2+2(cos αcos β+sin αsin β)=1,

即2+2cos(α-β)=1.所以cos(α-β)=-.

答案:D

3.已知sin,则cos α+sin α的值为(　　)

A.- B. C.2 D.-1

解析:cos α+sin α=2

=2cos=2cos

=2sin.

答案:B

4.若cos(α-β)=,cos 2α=,且α,β均为锐角,且α<β,则α+β的值为(　　)

A. B. C. D.

解析:∵α,β∈,∴α-β∈,2α∈(0,π),sin(α-β)=-,sin 2α=,

∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]

=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)

==-.

∵α+β∈(0,π),∴α+β=.

答案:C

5.★化简:=　　　　　. 

解析:

=.

答案:

6.如图,在平面直角坐标系中,锐角α,β的终边分别与单位圆交于A,B两点,若点A的纵坐标为,点B的横坐标为,则cos(α-β)=　　　　　. 

答案:

7.若α,β为锐角,且cos α=,cos(α+β)=-,求cos β的值.

解:∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π.

由cos(α+β)=-,得sin(α+β)=.

∵cos α=,∴sin α=.

∴cos β=cos[(α+β)-α]

=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α

=.

8.★已知向量a=(sin θ,-2)与b=(1,cos θ)互相垂直,其中θ∈.

(1)求sin θ和cos θ的值;

(2)若5cos(θ-φ)=3cos φ,0<φ<,求cos φ的值.

解:(1)因为a⊥b,所以a·b=sin θ-2cos θ=0,

即sin θ=2cos θ.

又因为sin2θ+cos2θ=1,所以4cos2θ+cos2θ=1,

即cos2θ=,所以sin2θ=.

又θ∈,所以sin θ=,cos θ=.

(2)因为5cos(θ-φ)=5(cos θcos φ+sin θsin φ)

=cos φ+2sin φ=3cos φ,

所以cos φ=sin φ,

所以cos2φ=sin2φ=1-cos2φ,即cos2φ=.

因为0<φ<,所以cos φ=.