高中数学人教版新课标A必修33.3.2均匀随机数的产生同步练习题

3.3.2　均匀随机数的产生

课时过关·能力提升

一、基础巩固

1.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m,其实际概率的大小为n,则(　　)

A.m>n B.m<n

C.m=n D.m是n的近似值

答案:D

2.设x是[0,1]内的一个均匀随机数,经过变换y=2x+3,则x=对应变换成的均匀随机数是(　　)

A.0 B.2 C.4 D.5

解析:当x=时,y=2×+3=4.

答案:C

3.用计算器或计算机产生20个0~1之间的随机数x,但是基本事件都在区间[-1,3]上,则需要经过的变换是              (　　)

A.y=3x-1 B.y=3x+1

C.y=4x+1 D.y=4x-1

答案:D

4.如图,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为,则阴影区域的面积为(　　)

A. B.

C. D.无法计算

解析:由几何概型的公式可得,

又S正方形=4,∴S阴影=4×.

答案:B

5.设一直角三角形两直角边的长均是区间[0,1]上的随机数,则斜边的长小于1的概率为(　　)

A. B.

C. D.

解析:设两直角边分别为x,y,则x,y满足x∈[0,1],y∈[0,1],则P(x2+y2<1)=.

答案:C

6.b1是[0,1]上的均匀随机数,b=3(b1-2),则b是区间　　　　上的均匀随机数. 

解析:0≤b1≤1,则函数b=3(b1-2)的值域是-6≤b≤-3,即b是区间[-6,-3]上的均匀随机数.

答案:[-6,-3]

7.利用随机模拟方法计算如图所示的阴影部分(y=x3和x=2以及x轴所围成的部分)的面积.

步骤是:(1)利用计算器或计算机产生两组0到1之间的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND;

(2)进行伸缩变换a=2a1,b=8b1;

(3)数出落在阴影内的样本点数N1(满足b<a3的点(a,b)的个数),用几何概型公式计算阴影部分的面积.

例如,做1 000次试验,即N=1 000,模拟得到N1=250.

由,得S阴影≈　　　　. 

解析:S阴影≈·S矩=×2×8=4.

答案:4

8.如图,在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形,向大正方形内随机投点,用随机模拟的方法求所投的点落入小正方形内的概率.

解:设事件A={所投点落入小正方形内}.

①用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.

②经过平移和伸缩变换,a=3a1-1.5,b=3b1-1.5,得[-1.5,1.5]上的均匀随机数.

③统计落入大正方形内的点数N(即上述所有随机数构成的点(a,b)的个数)及落入小正方形内的点数N1(即满足-1<a<1,且-1<b<1的点(a,b)的个数).

④计算,即为概率P(A)的近似值.

二、能力提升

1.用均匀随机数进行随机模拟,下列说法中正确的是(　　)

A.只能求几何概型的概率,不能解决其他问题

B.能求几何概型的概率,还能计算图形的面积

C.能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积

D.最适合估计古典概型的概率

解析:很明显用均匀随机数进行随机模拟,不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积,但得到的是近似值,不是精确值,用均匀随机数进行随机模拟,不适合估计古典概型的概率.

答案:C

2.将[0,1]内的均匀随机数转化为[-2,6]内的均匀随机数,需实施的变换为(　　)

A.a=8a1 B.a=8a1+2

C.a=8a1-2 D.a=6a1

解析:当a1∈[0,1]时,a=8a1的值域为[0,8],则A项不符合题意;a=8a1+2的值域为[2,10],则B项不符合题意;a=8a1-2的值域为[-2,6],则C项符合题意;a=6a1的值域是[0,6],则D项不符合题意.

答案:C

3.如图,在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为2 cm,4 cm,6 cm,某人站在3 m之外向此板投镖,设镖击中线上或没有投中木板时不算,可重投.

记事件A={投中大圆内},

事件B={投中小圆与中圆形成的圆环内},

事件C={投中大圆之外}.

(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.

(2)经过伸缩和平移变换,a=16a1-8,b=16b1-8,得到两组[-8,8]内的均匀随机数.

(3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2+b2<36的点(a,b)的个数),投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4<a2+b2<16的点(a,b)的个数),投中木板的总次数N(即满足上述-8<a<8,-8<b<8的点(a,b)的个数).

则概率P(A),P(B),P(C)的近似值分别是(　　)

A.

B.

C.

D.

解析:P(A)的近似值为,P(B)的近似值为,P(C)的近似值为.

答案:A

★4.利用随机模拟方法计算y=x2与y=4围成的面积时,利用计算器产生两组0~1之间的均匀随机数a1=RAND,b1=RAND,然后进行平移与伸缩变换a=a1·4-2,b=b1·4,试验进行100次,前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65,已知最后两次试验的随机数a1=0.3,b1=0.8及a1=0.4,b1=0.3,则本次模拟得出的面积为　　　　　. 

解析:由a1=0.3,b1=0.8得,a=-0.8,b=3.2,(-0.8,3.2)落在y=x2与y=4围成的区域内,由a1=0.4,b1=0.3得,a=-0.4,b=1.2,(-0.4,1.2)落在y=x2与y=4围成的区域内,所以本次模拟得出的面积为16×=10.72.

答案:10.72

5.设函数y=f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)0~1区间上的均匀随机数x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,…,N).再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数N1,则由随机模拟方法可得S的近似值为　　　　　. 

解析:由0≤f(x)≤1可知曲线y=f(x)与直线x=0,x=1,y=0围成了一个曲边图形.

又产生的随机数对在如图所示的正方形内,正方形的面积为1,共有N对数,即有N个点,且满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的有N1个点,即在函数f(x)图象上及下方有N1个点,所以由几何概型的求概率公式得,曲线y=f(x)与x=0,x=1,y=0围成的面积为×1=.

答案:

6.设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的边长都等于6 cm,现用直径等于2 cm的硬币投掷到网格上,用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率.

解:记事件A={硬币与格线有公共点},

设硬币中心为B(x,y).

步骤:(1)利用计算机或计算器产生两组0~1之间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.

(2)经过平移和伸缩变换,则x=6(x1-0.5),y=6(y1-0.5),得到两组[-3,3]内的均匀随机数.

(3)统计试验总次数N及硬币与格线有公共点的次数N1(满足条件|x|≥2或|y|≥2的点(x,y)的个数).

(4)计算频率,即为硬币落下后与格线有公共点的概率的近似值.

★7.用随机模拟方法求函数y= 的图象与x轴和直线x=1围成的图形的面积.

分析:将问题转化为求在由直线x=1,y=1和x轴、y轴围成的正方形中任取一点,该点落在已知图形内的概率.用随机模拟方法来估计概率即可.

解:如图,阴影部分是函数y=的图象与x轴和直线x=1围成的图形.

设阴影部分的面积为S.

随机模拟的步骤:

(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND;

(2)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y<的点(x,y)的个数);

(3)计算频率,即为点落在阴影部分的概率的近似值;

(4)直线x=1,y=1和x轴、y轴围成的正方形面积是1,由几何概型公式得点落在阴影部分的概率为=S.则S≈,即阴影部分面积的近似值为.