高三数学一轮复习： 第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件

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第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真]　1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图1­2­1(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(3)如果pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．4．集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　　)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　　)(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　)[解析]　(1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．(2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．(教材改编)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)A．若α≠，则tan α≠1B．若α＝，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠D．若tan α≠1，则α＝C　[“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则 綈p”，显然綈q：tan α≠1，綈p：α≠，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．]3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) 【导学号：01772005】A．充分不必要条件　　 B.必要不充分条件C．充要条件  D.既不充分也不必要条件A　[a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(　　)A．1　　　 B.2C.3　　　 D.4B　[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．]5．(2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的(　　)A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件C　[当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不成立；若x＞|y|，因为|y|≥y，所以x＞y.所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分条件．] 四种命题的关系及其真假判断　(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(　　)A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)A．真，假，真　　　 B.假，假，真C．真，真，假  D.假，假，假(1)C　(2)B　[(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题．(2)由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题．当z1＝1＋2i，z2＝2＋i时，显然|z1|＝|z2|，但z1与z2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题亦为假命题．][规律方法]　1.已知原命题写出该命题的其他命题时，先要分清命题的条件与结论．特别注意的是，如果命题不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”的形式．2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．3．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．[变式训练1]　原命题为“若＜an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)A．真，真，真  B.假，假，真C．真，真，假  D.假，假，假A　[由＜an，得an＋an＋1＜2an，即an＋1＜an.所以当＜an时，必有an＋1＜an，则{an}是递减数列．反之，若{an}是递减数列，必有an＋1＜an，从而有＜an.所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均是真命题．]充分条件与必要条件的判断　(1)(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件(2)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)C　(2)A　[(1)当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)|x－2|＜1⇔1＜x＜3，x2＋x－2＞0⇔x＞1或x＜－2.由于{x|1＜x＜3}是{x|x＞1或x＜－2}的真子集．所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件．][规律方法]　充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．[变式训练2]　(2016·武汉模拟)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的(　　) 【导学号：01772006】A．必要不充分条件  B.充分不必要条件C．充要条件  D.既不充分也不必要条件B　[若a＝1，则集合N＝{1}，此时满足N⊆M.若N⊆M，则a2＝1或2，所以a＝±1或a＝±.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．]充分条件、必要条件的应用 　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．[解]　由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}.3分∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，∴∴0≤m≤3.8分综上，可知0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.12分[迁移探究1]　本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．[解]　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.2分若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，∴8分∴这样的m不存在.12分[迁移探究2]　本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．[解]　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．∵綈P是綈S的必要不充分条件，∴P是S的充分不必要条件，∴P⇒S且SP，4分∴[－2,10][1－m,1＋m]，∴或8分∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞).12分[规律方法]　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．[变式训练3]　(1)(2017·长沙模拟)已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R，a为常数)的解集只有一个负实根的充要条件是________．(1)(0,3)　(2)a≤0或a＝1　[(1)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0<x<4}．∵p是q的充分不必要条件，∴MN，∴解得0<a<3.(2)当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，∴原方程有一个负实根x＝－.当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根．∴方程有一个正根和一个负根或方程有两个相等的负根，当方程有一正一负根时，则x1x2＜0，∴＜0，且Δ＝4－4a＞0，解得a＜0.当方程有两个相等的负根时，Δ＝4－4a＝0，a＝1，此时方程的根为－1，符合题意，综上，方程的解集只有一个负实根的充要条件是a≤0或a＝1.][思想与方法]1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充分条件、必要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．[易错与防范]1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言的含义．