高三数学一轮复习： 第2章 第1节 函数及其表示

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第二章　函数、导数及其应用[深研高考·备考导航]　为教师授课、学生学习提供丰富备考资源[五年考情][重点关注]1．从近五年全国卷高考试题来看，函数、导数及其应用是每年高考命题的重点与热点，既有客观题，又有解答题，中高档难度．2．函数的概念、图象及其性质是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、图象是高考考查的重点，函数性质与其他知识的综合是历年高考的热点．3．导数的几何意义，导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用是高考的重点与热点．4．本章内容集中体现了四大数学思想：函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归的思想，且常与方程、不等式、导数等知识交汇命题，体现了综合与创新．[导学心语]1．注重基础：对函数的概念、图象、性质(单调性、奇偶性、周期性)、导数的几何意义、导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用，要熟练掌握并灵活应用.  2．加强交汇，强化综合应用意识：在知识的交汇点处命制试题，已成为高考的一大亮点，函数的观点和方法贯穿于高中数学的全过程，因此，应加强函数与三角函数、数列、不等式、解析几何、导数等各章节之间的联系．3．把握思想：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和等价转化思想在解决各种与函数有关的问题中均有应用，复习时应引起足够重视．第一节　函数及其表示[考纲传真]　1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．1．函数与映射的概念 函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数是特殊的映射．(　　)(2)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(　　)(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．(　　)(4)分段函数是两个或多个函数．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×2．(教材改编)函数y＝＋的定义域为(　　)A.　　　　　 B.(－∞，3)∪(3，＋∞)C.∪(3，＋∞)  D.(3，＋∞)C　[由题意知解得x≥且x≠3.]3．(2017·东北三省四市二联)已知函数f(x)＝则f＝(　　)A．4　　　 B.　　C.－4　　　 D.－B　[∵f＝log5＝log55－2＝－2，∴f＝f(－2)＝2－2＝，故选B.]4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.－2　[∵f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.]5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是一个函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝lg x2与g(x)＝2lg x是同一个函数．其中正确命题的序号是________． 【导学号：01772018】①　[由函数的定义知①正确．∵满足的x不存在，∴②不正确．∵y＝2x(x∈N)的图象是位于直线y＝2x上的一群孤立的点，∴③不正确．    ∵f(x)与g(x)的定义域不同，∴④也不正确．] 求函数的定义域　(1)(2016·江苏高考)函数y＝的定义域是________．(2)(2017·郑州模拟)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是________．(1)[－3,1]　(2)[0,1)　[(1)要使函数有意义，需3－2x－x2≥0，即x2＋2x－3≤0，得(x－1)(x＋3)≤0，即－3≤x≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．(2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，所以0≤x<1，即g(x)的定义域为[0,1)．][规律方法]　1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解．2．(1)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；(2)若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．[变式训练1]　(1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)A．(－3,0]　　　　　 B.(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]  D.(－∞，－3)∪(－3,1](2)已知函数f(2x)的定义域为[－1,1]，则f(x)的定义域为________. 【导学号：01772019】(1)A　(2)　[(1)由题意，自变量x应满足解得∴－3＜x≤0.(2)∵f(2x)的定义域为[－1,1]，∴≤2x≤2，即f(x)的定义域为.]求函数的解析式 　(1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式．(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式．(3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．[解]　(1)令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝，∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x＞1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，∴即∴f(x)＝x2－x＋2.(3)∵f(x)＋2f＝x，∴f＋2f(x)＝.联立方程组解得f(x)＝－(x≠0)．[规律方法]　求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)；(4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，即得f(x)的表达式．[变式训练2]　(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.(2)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2·f·－1，则f(x)＝________.(1)x2－1(x≥1)　(2) ＋(x＞0)　[(1)(换元法)设＋1＝t(t≥1)，则＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．(配凑法)f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1，又＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)在f(x)＝2f·－1中，用代替x，得f＝2f(x)·－1，由得f(x)＝ ＋(x＞0)．]分段函数及其应用☞角度1　求分段函数的函数值　(1)(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　)A．3  B.6C．9  D.12(2)(2017·东北三省四市一联)已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，如果f(x＋2 016)＝那么f·f(－7 984)＝(　　) 【导学号：01772020】A．2 016　　　 B.C.4　　　 D.(1)C　(2)C　(1)∵－2<1，∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝＝6.∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C.(2)当x≥0时，有f(x＋2 016)＝sin x，∴f＝sin＝1；当x＜0时，f(x＋2 016)＝lg(－x)，∴f(－7 984)＝f(－10 000＋2 016)＝lg 10 000＝4，∴f·f(－7 984)＝1×4＝4，故选C.]☞角度2　已知分段函数的函数值求参数　(1)(2017·成都二诊)已知函数f(x)＝若f(f(－1))＝2，则实数m的值为(　　)A．1  B.1或－1C.  D.或－(2)设函数f(x)＝若f＝4，则b＝(　　)A．1　　　 B.C.　　　 D.(1)D　(2)D　[(1)f(f(－1))＝f(1＋m2)＝log2(1＋m2)＝2，m2＝3，解得m＝±，故选D.(2)f＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，则3×－b＝－4b＝4，解得b＝，不符合题意，舍去；若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.]☞角度3　解与分段函数有关的方程或不等式　(1)(2017·石家庄一模)已知函数f(x)＝且f(x)＝－，则x的值为________．(2)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．(1)－　(2)(－∞，8]　[(1)当－1＜x≤0时，f(x)＝sin＝－，解得x＝－；当0＜x＜1时，f(x)＝log2(x＋1)∈(0,1)，此时f(x)＝－无解，故x的值为－.(2)当x<1时，x－1<0，ex－1<e0＝1≤2，∴当x<1时满足f(x)≤2.当x≥1时，x≤2，x≤23＝8，∴1≤x≤8.综上可知x∈(－∞，8]．][规律方法]　1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论．[思想与方法]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础，对函数性质的讨论，必须在定义域内进行．3．求函数解析式的几种常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、构造法．4．分段函数问题要分段求解．[易错与防范]1．求函数定义域时，不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．2．用换元法求函数解析式时，应注意元的范围，既不能扩大，又不能缩小，以免求错函数的定义域．3．在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；如果x0的范围不确定，要分类讨论．