高三数学一轮复习： 第3章 第7节 正弦定理、余弦定理应用举例

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1．仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图3­7­1①)．
① ②
图3­7­1
2．方位角和方向角
(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图3­7­1②)．
(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( )
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )
(4)如图3­7­2，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．( )
图3­7­2
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于( )
A．10eq \r(,3) n mile B.eq \f(10\r(,6),3) n mile
C．5eq \r(,2) n mile D．5eq \r(,6) n mile
D [如图，在△ABC中，
AB＝10，∠A＝60°，
∠B＝75°，∠C＝45°，
∴eq \f(BC,sin 60°)＝eq \f(10,sin 45°)，
∴BC＝5eq \r(,6).]
3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )
A．北偏东15° B．北偏西15°
C．北偏东10° D．北偏西10°
B [如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A在点B的北偏西15°.]
4．如图3­7­3，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是
( )
图3­7­3
A．100eq \r(2) m B．400 m
C．200eq \r(3) m D．500 m
D [设塔高为x m，则由已知可得BC＝x m，BD＝eq \r(3)x m，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcs ∠BCD，即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．]
5．如图3­7­4，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为( )
图3­7­4
A．50eq \r(3) mB．25eq \r(3) m
C．25eq \r(2) mD．50eq \r(2) m
D [因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知eq \f(AC,sin B)＝eq \f(AB,sin C)，即eq \f(50,sin 30°)＝eq \f(AB,sin 45°)，解得AB＝50eq \r(2) m．]
如图3­7­5，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cs 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，eq \r(3)≈1.73)
图3­7­5
60 [如图所示，过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D.
在Rt△ADC中，由AD＝46 m，∠ACB＝30°得AC＝92 m.
在△ABC中，∠BAC＝67°－30°＝37°，
∠ABC＝180°－67°＝113°，AC＝92 m，
由正弦定理eq \f(AC,sin ∠ABC)＝eq \f(BC,sin ∠BAC)，得
eq \f(92,sin 113°)＝eq \f(BC,sin 37°)，即eq \f(92,sin 67°)＝eq \f(BC,sin 37°)，
解得BC＝eq \f(92sin 37°,sin 67°)≈60(m)．]
[规律方法] 应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：
(1)根据题意，画出示意图，并标出条件；
(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；
(3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．
[变式训练1] 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 【导学号：01772134】
10eq \r(3) [如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝eq \f(\r(3),3)×30＝10eq \r(3)(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝eq \r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq \r(300)＝10eq \r(3)(m)．]
(2015·湖北高考)如图3­7­6，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.
图3­7­6
100eq \r(6) [由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得eq \f(600,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)，解得BC＝300eq \r(2) m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300eq \r(2)×eq \f(\r(3),3)
＝100eq \r(6)(m)．]
[规律方法] 1.在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．
2．分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，并注意综合运用方程、平面几何、立体几何等知识．
[变式训练2] 如图3­7­7，从某电视塔CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B处测得塔顶的仰角为45°，AB间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米．
图3­7­7
5eq \r(21) [如图，可知∠CAO＝60°，∠AOB＝150°，
∠OBC＝45°，AB＝35米．
设OC＝x米，则OA＝eq \f(\r(3),3)x米，OB＝x米．
在△ABO中，由余弦定理，
得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cs ∠AOB，
即352＝eq \f(x2,3)＋x2－eq \f(2\r(3),3)x2·cs 150°，
整理得x＝5eq \r(21)，
所以此电视塔的高度是5eq \r(21)米．]
在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(eq \r(3)－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10eq \r(3)海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？
[解] 设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝10eq \r(3)t，BD＝10t.
在△ABC中，AB＝eq \r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°.3分
根据余弦定理，可得
BC＝eq \r(\r(3)－12＋22－2×2×\r(3)－1cs 120°)
＝eq \r(6)，
由正弦定理，得sin∠ABC＝eq \f(AC,BC)sin∠BAC＝eq \f(2,\r(6))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(2),2)，∴∠ABC＝45°，因此BC与正北方向垂直.7分
于是∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝eq \f(BDsin∠CBD,CD)＝eq \f(10t·sin 120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2)，
∴∠BCD＝30°，又eq \f(CD,sin 120°)＝eq \f(BC,sin 30°)，
即eq \f(10\r(3)t,\r(3))＝eq \r(6)，得t＝eq \f(\r(6),10).∴当缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花eq \f(\r(6),10)小时.12分
[规律方法] 解决测量角度问题的注意事项
(1)首先应明确方位角或方向角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．
(3)将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．
[变式训练3] 如图3­7­8，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cs θ的值．
图3­7­8
[解] 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs 120°＝2 800⇒BC＝20eq \r(7).4分
由正弦定理，得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(BC,sin∠BAC)⇒sin∠ACB＝eq \f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq \f(\r(21),7).8分
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cs∠ACB＝eq \f(2\r(7),7).
由θ＝∠ACB＋30°，得cs θ＝cs(∠ACB＋30°)＝cs∠ACB cs 30°－sin∠ACB sin 30°＝eq \f(\r(21),14).12分
[思想与方法]
解三角形应用题的两种情形
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
[易错与防范]
1．“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误．测量距离问题
测量高度问题
测量角度问题