高三数学一轮复习： 第2章 第10节 变化率与导数、导数的计算

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1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0))，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( )
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( )
(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( )
(4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋eq \f(3,t)(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为( )
【导学号：01772075】
A.eq \f(19,4) B.eq \f(17,4)
C.eq \f(15,4) D.eq \f(13,4)
D [由题意知，机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－eq \f(3,t2)，故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－eq \f(3,22)＝eq \f(13,4).]
3．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
3 [因为f(x)＝(2x＋1)ex，
所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
所以f′(0)＝3e0＝3.]
4．(2016·豫北名校期末联考)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．
5x＋y＋2＝0 [∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0))＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.]
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
1 [∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.]
求下列函数的导数：
(1)y＝exln x；
(2)y＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；
(3)y＝x－sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)；
(4)y＝ln(2x－9)．
[解] (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·eq \f(1,x)＝exeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋\f(1,x))).
(2)∵y＝x3＋1＋eq \f(1,x2)，∴y′＝3x2－eq \f(2,x3).
(3)∵y＝x－eq \f(1,2)sin x，∴y′＝1－eq \f(1,2)cs x.
(4)令u＝2x－9，y＝ln u，
则y′x＝y′u·u′x.
因此y′＝eq \f(1,2x－9)·(2x－9)′＝eq \f(2,2x－9).
[规律方法] 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．
2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．
3．复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．
[变式训练1] (1)f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，则x0等于( )
A．e2 B.1
C.ln 2 D.e
(2)(2015·天津高考)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
(1)B (2)3 [(1)f′(x)＝2 017＋ln x＋x×eq \f(1,x)＝2 018＋ln x，故由f′(x0)＝2 018，得2 018＋ln x0＝2 018，则ln x0＝0，解得x0＝1.
(2)f′(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋x·\f(1,x)))＝a(1＋ln x)．
由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.]
☞角度1 求切线方程
已知曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3).
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
[思路点拨] (1)点P(2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；
(2)点P(2,4)不一定是切点，先设切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(1,3)x\\al(3,0)＋\f(4,3)))，由此求出切线方程，再把点P(2,4)代入切线方程求x0.
[解] (1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2))＝4，3分
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.5分
(2)设曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)与过点P(2,4)的切线相切于点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(1,3)x\\al(3,0)＋\f(4,3)))，
则切线的斜率为y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0))＝xeq \\al(2,0)，
∴切线方程为y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x\\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq \\al(2,0)(x－x0)，
即y＝xeq \\al(2,0)·x－eq \f(2,3)xeq \\al(3,0)＋eq \f(4,3).7分
∵点P(2,4)在切线上，
∴4＝2xeq \\al(2,0)－eq \f(2,3)xeq \\al(3,0)＋eq \f(4,3)，
即xeq \\al(3,0)－3xeq \\al(2,0)＋4＝0，9分
∴xeq \\al(3,0)＋xeq \\al(2,0)－4xeq \\al(2,0)＋4＝0，
∴xeq \\al(2,0)(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，
故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.12分
☞角度2 求切点坐标
若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．

【导学号：01772076】
(e，e) [由题意得y′＝ln x＋x·eq \f(1,x)＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即点P的坐标为(e，e)．]
☞角度3 求参数的值
(1)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B.2
C.－1 D.－2
(2)(2017·西宁复习检测(一))已知曲线y＝eq \f(x＋1,x－1)在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－2 B.2
C.－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
(1)B (2)A [(1)设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)．
又y′＝eq \f(1,x＋a)，所以y′|x＝x0＝eq \f(1,x0＋a)＝1，即x0＋a＝1.
又y0＝ln(x0＋a)，所以y0＝0，则x0＝－1，所以a＝2.
(2)由y′＝eq \f(－2,x－12)得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－eq \f(1,2)，又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝－2，故选A.]
[规律方法] 1.导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．
2．曲线在点P处的切线是以点P为切点，曲线过点P的切线则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标．
易错警示：当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.
[思想与方法]
1．f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意变换的等价性．
[易错与防范]
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．
2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
原函数
导函数
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a(a＞0)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
导数的计算
导数的几何意义