高三数学一轮复习： 第7章 第6节 课时分层训练43

这是一份高三数学一轮复习： 第7章 第6节 课时分层训练43，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．垂直 B.平行
C．异面 D.相交但不垂直
B [由题意得，eq \(AB,\s\up7(→))＝(－3，－3,3)，eq \(CD,\s\up7(→))＝(1,1，－1)，
∴eq \(AB,\s\up7(→))＝－3eq \(CD,\s\up7(→))，
∴eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))共线，
又eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))没有公共点．
∴AB∥CD.]
2．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( )
【导学号：01772269】
A．－2 B.－eq \f(14,3)
C.eq \f(14,5) D.2
D [由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.]
3．空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么( )
【导学号：01772270】
A.eq \(AE,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))eq \(AE,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))
D.eq \(AE,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))与eq \(AE,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))的大小不能比较
C [取BD的中点F，连接EF，则EF綊eq \f(1,2)CD.
因为AE⊥BC，
〈eq \(AE,\s\up7(→))，eq \(EF,\s\up7(→))〉＝〈eq \(AE,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉>90°.
所以eq \(AE,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝0，eq \(AE,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))eq \(AE,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→)).]
4．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq \(AE,\s\up7(→))·eq \(AF,\s\up7(→))的值为( )
A．a2 B.eq \f(1,2)a2
C.eq \f(1,4)a2 D.eq \f(\r(3),4)a2
C [如图，设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AC,\s\up7(→))＝b，eq \(AD,\s\up7(→))＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)c，
∴eq \(AE,\s\up7(→))·eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)·eq \f(1,2)c
＝eq \f(1,4)(a·c＋b·c)＝eq \f(1,4)(a2cs 60°＋a2cs 60°)＝eq \f(1,4)a2.]
5．如图7­6­7，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
图7­6­7
A.eq \r(3) B.eq \r(2)
C．1 D.eq \r(3－\r(2))
D [∵eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(BF,\s\up7(→))＋eq \(FE,\s\up7(→))＋eq \(ED,\s\up7(→))，
∴|eq \(BD,\s\up7(→))|2＝|eq \(BF,\s\up7(→))|2＋|eq \(FE,\s\up7(→))|2＋|eq \(ED,\s\up7(→))|2＋2eq \(BF,\s\up7(→))·eq \(FE,\s\up7(→))＋2eq \(FE,\s\up7(→))·eq \(ED,\s\up7(→))＋2eq \(BF,\s\up7(→))·eq \(ED,\s\up7(→))＝1＋1＋1－eq \r(2)＝3－eq \r(2)，故|eq \(BD,\s\up7(→))|＝eq \r(3－\r(2)).]
二、填空题
6．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________.
【导学号：01772271】
－9 [由题意知c＝xa＋yb，
即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝7，,x＋2y＝6，,－3x＋3y＝λ，))解得λ＝－9.]
7．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________.
【导学号：01772272】
eq \r(2) [|eq \(EF,\s\up7(→))|2＝(eq \(EC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(DF,\s\up7(→)))2
＝eq \(EC2,\s\up7(→))＋eq \(CD2,\s\up7(→))＋eq \(DF2,\s\up7(→))＋2(eq \(EC,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(EC,\s\up7(→))·eq \(DF,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))·eq \(DF,\s\up7(→)))
＝12＋22＋12＋2(1×2×cs 120°＋0＋2×1×cs 120°)
＝2，
∴|eq \(EF,\s\up7(→))|＝eq \r(2)，∴EF的长为eq \r(2).]
8．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当eq \(QA,\s\up7(→))·eq \(QB,\s\up7(→))取最小值时，点Q的坐标是________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))) [由题意，设eq \(OQ,\s\up7(→))＝λeq \(OP,\s\up7(→))，即eq \(OQ,\s\up7(→))＝(λ，λ，2λ)，
则eq \(QA,\s\up7(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq \(QB,\s\up7(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
∴eq \(QA,\s\up7(→))·eq \(QB,\s\up7(→))＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(4,3)))2－eq \f(2,3)，当λ＝eq \f(4,3)时有最小值，此时Q点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).]
三、解答题
9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq \(AB,\s\up7(→))，b＝eq \(AC,\s\up7(→)).
(1)若|c|＝3，且c∥eq \(BC,\s\up7(→))，求向量c；
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．
[解] (1)∵c∥eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，
∴c＝meq \(BC,\s\up7(→))＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，2分
∴|c|＝eq \r(－2m2＋－m2＋2m2)＝3|m|＝3，
∴m＝±1.
∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2).5分
(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．
∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.7分
又∵|a|＝eq \r(12＋12＋02)＝eq \r(2)，
|b|＝eq \r(－12＋02＋22)＝eq \r(5)，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(－1,\r(10))＝－eq \f(\r(10),10)，
故向量a与向量b的夹角的余弦值为－eq \f(\r(10),10).12分
10．(2017·长春模拟)已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))为边的平行四边形的面积；
(2)若|a|＝eq \r(3)，且a分别与eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))垂直，求向量a的坐标．
[解] (1)由题意可得：eq \(AB,\s\up7(→))＝(－2，－1,3)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(1，－3,2)，所以cs〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up7(→))·\(AC,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))||\(AC,\s\up7(→))|)
＝eq \f(－2＋3＋6,\r(14)×\r(14))＝eq \f(7,14)＝eq \f(1,2).3分
所以sin〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))〉＝eq \f(\r(3),2)，
所以以eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))为边的平行四边形的面积为
S＝2×eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up7(→))|·|eq \(AC,\s\up7(→))|·sin〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))〉＝14×eq \f(\r(3),2)＝7eq \r(3).5分
(2)设a＝(x，y，z)，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋z2＝3，,－2x－y＋3z＝0，,x－3y＋2z＝0.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，,z＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1，,z＝－1.))
所以向量a的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))＝0，eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＝0，eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＝0，M为BC中点，则△AMD是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
C [∵M为BC中点，
∴eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))，
∴eq \(AM,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))·eq \(AD,\s\up7(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＝0.
∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．]
2．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．
60° [由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.
即2a·c＋b·c＝－10.
又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，
∴cs〈b，c〉＝eq \f(b·c,|b|·|c|)＝eq \f(－18,12×\r(1＋4＋4))＝－eq \f(1,2)，
∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.]
3．在直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
图7­6­8
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.
【导学号：01772273】
[解] (1)证明：设eq \(CA,\s\up7(→))＝a，eq \(CB,\s\up7(→))＝b，eq \(CC′,\s\up7(→))＝c，
根据题意得，|a|＝|b|＝|c|，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴eq \(CE,\s\up7(→))＝b＋eq \f(1,2)c，eq \(A′D,\s\up7(→))＝－c＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a.3分
∴eq \(CE,\s\up7(→))·eq \(A′D,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)c2＋eq \f(1,2)b2＝0.
∴eq \(CE,\s\up7(→))⊥eq \(A′D,\s\up7(→))，即CE⊥A′D.5分
(2)∵eq \(AC′,\s\up7(→))＝－a＋c，|eq \(AC′,\s\up7(→))|＝eq \r(2)|a|，|eq \(CE,\s\up7(→))|＝eq \f(\r(5),2)|a|.
eq \(AC′,\s\up7(→))·eq \(CE,\s\up7(→))＝(－a＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)c))＝eq \f(1,2)c2＝eq \f(1,2)|a|2，
∴cs〈eq \(AC′,\s\up7(→))，eq \(CE,\s\up7(→))〉＝eq \f(\f(1,2)|a|2,\r(2)·\f(\r(5),2)|a|2)＝eq \f(\r(10),10).10分
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10).12分