高三数学一轮复习： 第4章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示

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1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up13(→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up13(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )
(2)在△ABC中，设eq \(AB,\s\up13(→))＝a，eq \(BC,\s\up13(→))＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.( )
(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于 ( )
A．5 B.eq \r(13)
C.eq \r(17) D.13
B [因为a＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝eq \r(32＋22)＝eq \r(13).]
3．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq \(AC,\s\up13(→))＝(－4，－3)，则向量eq \(BC,\s\up13(→))＝
( )
A．(－7，－4) B.(7,4)
C．(－1,4) D.(1,4)
A [eq \(AB,\s\up13(→))＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
eq \(BC,\s\up13(→))＝eq \(AC,\s\up13(→))－eq \(AB,\s\up13(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
故选A.]
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
－6 [∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，
∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6.]
5．(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
(1,5) [设D(x，y)，则由eq \(AB,\s\up13(→))＝eq \(DC,\s\up13(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝5.))]
(1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ( )
A．e1与e1＋e2
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1＋3e2与6e2＋2e1
(2)(2016·山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若eq \(AC,\s\up13(→))＝λeq \(AE,\s\up13(→))＋μeq \(AF,\s\up13(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
(1)D (2)eq \f(4,3) [(1)选项A中，设e1＋e2＝λe1，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝λ，,1＝0))无解；
选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,－2＝2λ))无解；
选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,1＝－λ))无解；
选项D中，e1＋3e2＝eq \f(1,2)(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．
(2)选择eq \(AB,\s\up13(→))，eq \(AD,\s\up13(→))作为平面向量的一组基底，则eq \(AC,\s\up13(→))＝eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(AD,\s\up13(→))，eq \(AE,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(AD,\s\up13(→))，eq \(AF,\s\up13(→))＝eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up13(→))，
又eq \(AC,\s\up13(→))＝λeq \(AE,\s\up13(→))＋μeq \(AF,\s\up13(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μ))eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＋\f(1,2)μ))eq \(AD,\s\up13(→))，
于是得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μ＝1，,λ＋\f(1,2)μ＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)，))
所以λ＋μ＝eq \f(4,3).]
[规律方法] 1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．
2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．
[变式训练1] 如图4­2­1，以向量eq \(OA,\s\up13(→))＝a，eq \(OB,\s\up13(→))＝b为邻边作▱OADB，eq \(BM,\s\up13(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up13(→))，eq \(CN,\s\up13(→))＝eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up13(→))，用a，b表示eq \(OM,\s\up13(→))，eq \(ON,\s\up13(→))，eq \(MN,\s\up13(→)).
图4­2­1
[解] ∵eq \(BA,\s\up13(→))＝eq \(OA,\s\up13(→))－eq \(OB,\s\up13(→))＝a－b，
eq \(BM,\s\up13(→))＝eq \f(1,6)eq \(BA,\s\up13(→))＝eq \f(1,6)a－eq \f(1,6)b，
∴eq \(OM,\s\up13(→))＝eq \(OB,\s\up13(→))＋eq \(BM,\s\up13(→))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(5,6)b.3分
∵eq \(OD,\s\up13(→))＝a＋b，
∴eq \(ON,\s\up13(→))＝eq \(OC,\s\up13(→))＋eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up13(→))＋eq \f(1,6)eq \(OD,\s\up13(→))
＝eq \f(2,3)eq \(OD,\s\up13(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b，8分
∴eq \(MN,\s\up13(→))＝eq \(ON,\s\up13(→))－eq \(OM,\s\up13(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b－eq \f(1,6)a－eq \f(5,6)b＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,6)b.
综上，eq \(OM,\s\up13(→))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(5,6)b，eq \(ON,\s\up13(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b，eq \(MN,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,6)b.12分
已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \(AB,\s\up13(→))＝a，eq \(BC,\s\up13(→))＝b，eq \(CA,\s\up13(→))＝c，且eq \(CM,\s\up13(→))＝3c，eq \(CN,\s\up13(→))＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量eq \(MN,\s\up13(→))的坐标．
[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).2分
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).5分
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))8分
(3)设O为坐标原点．∵eq \(CM,\s\up13(→))＝eq \(OM,\s\up13(→))－eq \(OC,\s\up13(→))＝3c，
∴eq \(OM,\s\up13(→))＝3c＋eq \(OC,\s\up13(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20).10分
又∵eq \(CN,\s\up13(→))＝eq \(ON,\s\up13(→))－eq \(OC,\s\up13(→))＝－2b，
∴eq \(ON,\s\up13(→))＝－2b＋eq \(OC,\s\up13(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴eq \(MN,\s\up13(→))＝(9，－18).12分
[规律方法] 1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解．
2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
[变式训练2] (2017·合肥三次质检)已知a＝(1，t)，b＝(t，－6)，则|2a＋b|的最小值为________．
2eq \r(5) [由条件得2a＋b＝(2＋t,2t－6)，所以|2a＋b|＝eq \r(2＋t2＋2t－62)＝eq \r(5t－22＋20)，当t＝2时，|2a＋b|的最小值为2eq \r(5).]
(1)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，若a∥(a＋b)，则m＝( )
A．－2 B.2
C.－3 D.3
(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
(1)C (2)(2,4) [(1)由题意可知a＋b＝(2,1＋m)，
∵a∥(a＋b)，
∴2＋(m＋1)＝0⇒m＝－3.
(2)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，
∴eq \(DC,\s\up13(→))＝2eq \(AB,\s\up13(→)).设点D的坐标为(x，y)，
则eq \(DC,\s\up13(→))＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)．
eq \(AB,\s\up13(→))＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，
即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))
故点D的坐标为(2,4)．]
[规律方法] 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa.
2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解．
[变式训练3] (1)(2017·郑州模拟)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1＋sin θ))，若a∥b，则锐角θ＝________.
(2)已知向量eq \(OA,\s\up13(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up13(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up13(→))＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________.
【导学号：01772146】
(1)eq \f(π,4) (2)k≠1 [(1)由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝eq \f(1,2)，
所以cs2θ＝eq \f(1,2)，
所以cs θ＝eq \f(\r(2),2)或－eq \f(\r(2),2)，又θ为锐角，所以θ＝eq \f(π,4).
(2)若点A，B，C能构成三角形，则向量eq \(AB,\s\up13(→))，eq \(AC,\s\up13(→))不共线．
因为eq \(AB,\s\up13(→))＝eq \(OB,\s\up13(→))－eq \(OA,\s\up13(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
eq \(AC,\s\up13(→))＝eq \(OC,\s\up13(→))－eq \(OA,\s\up13(→))＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
所以1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.]
[思想与方法]
1．平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理，是平面向量正交分解、坐标表示的理论基础，用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式．
2．利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线，也可以由平行求点的坐标或参数值．
3．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
[易错与防范]
1．在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量eq \(OA,\s\up13(→))＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)．但表示形式与意义不同，如点A(x，y)，向量a＝eq \(OA,\s\up13(→))＝(x，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息．
2．若a，b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形致误．
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
平面向量基本定理及其应用
平面向量的坐标运算
平面向量共线的坐标表示