高三数学一轮复习: 第6章 第6节 数学归纳法
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1.数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;
(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
2.数学归纳法的框图表示
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.( )
(2)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.( )
(3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.( )
(4)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(2016·银川九中月考)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为eq \f(1,2)n(n-3)条时,第一步检验n等于( )
A.1 B.2
C.3 D.0
C [因为凸n边形最小为三角形,所以第一步检验n等于3,故选C.]
3.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-eq \f(1,2)+eq \f(1,3)-eq \f(1,4)+…-eq \f(1,n)=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n+2)+\f(1,n+4)+…+\f(1,2n)))时,若已假设n=k(k≥2,且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( )
A.n=k+1时等式成立
B.n=k+2时等式成立
C.n=2k+2时等式成立
D.n=2(k+2)时等式成立
B [k为偶数,则k+2为偶数.]
4.(教材改编)已知{an}满足an+1=aeq \\al(2,n)-nan+1,n∈N*,且a1=2,则a2=__________,a3=__________,a4=__________,猜想an=__________.
3 4 5 n+1
5.用数学归纳法证明:“1+eq \f(1,2)+eq \f(1,3)+…+eq \f(1,2n-1)1)”由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项的项数是__________.
2k [当n=k时,不等式为1+eq \f(1,2)+eq \f(1,3)+…+eq \f(1,2k-1)eq \f(\r(2n+1),2)均成立.
【导学号:01772233】
[证明] (1)当n=2时,左边=1+eq \f(1,3)=eq \f(4,3);右边=eq \f(\r(5),2).∵左边>右边,∴不等式成立.3分
(2)假设n=k(k≥2,且k∈N*)时不等式成立,
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,5)))·…·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,2k-1)))>eq \f(\r(2k+1),2).6分
则当n=k+1时,eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,5)))·…·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,2k-1)))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1+\f(1,2k+1-1)))>eq \f(\r(2k+1),2)·eq \f(2k+2,2k+1)=eq \f(2k+2,2\r(2k+1))
=eq \f(\r(4k2+8k+4),2\r(2k+1))>eq \f(\r(4k2+8k+3),2\r(2k+1))
=eq \f(\r(2k+3)\r(2k+1),2\r(2k+1))=eq \f(\r(2k+1+1),2).10分
∴当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2)知,对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.12分
[规律方法] 1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他方法不容易证明,则可考虑应用数学归纳法.
2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时命题成立,再证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.
[变式训练2] 已知数列{an},当n≥2时,anx2k+2,易知xk>0,那么
x2k+2-x2k+4=eq \f(1,1+x2k+1)-eq \f(1,1+x2k+3)
=eq \f(x2k+3-x2k+1,1+x2k+11+x2k+3)=
eq \f(x2k-x2k+2,1+x2k1+x2k+11+x2k+21+x2k+3)>0,9分
即x2(k+1)>x2(k+1)+2.
也就是说,当n=k+1时命题也成立.
结合(1)(2)知,对∀n∈N*命题成立.12分
[思想与方法]
1.数学归纳法是一种重要的数学思想方法,主要用于解决与正整数有关的数学命题.证明时步骤(1)和(2)缺一不可,步骤(1)是步骤(2)的基础,步骤(2)是递推的依据.
2.在推证n=k+1时,可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标,又要弄清n=k与n=k+1之间的关系.在推证时,应灵活运用分析法、综合法、反证法等方法.
[易错与防范]
1.第一步验证当n=n0时,n0不一定为1,要根据题目要求选择合适的起始值.
2.由n=k时命题成立,证明n=k+1时命题成立的过程中,一定要用归纳假设,否则就不是数学归纳法.
3.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项,这是归纳、猜想的基础.否则将会做大量无用功.用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明不等式
归纳——猜想——证明
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