高三数学一轮复习： 重点强化课3 不等式及其应用

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(1)(2016·山东青岛一模)函数y＝eq \f(\r(1－x2),2x2－3x－2)的定义域为( )
A．(－∞，1] B.[－1,1]
C．[1,2)∪(2，＋∞) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≥0，,1，xf(2x)的x的取值范围是__________．
(1)D (2)(－1，eq \r(2)－1) [(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2≥0，,2x2－3x－2≠0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤1，,x≠2且x≠－\f(1,2)，))即－1≤x≤1且x≠－eq \f(1,2)，所以函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))∪\b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))))，故选D.
(2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2>0，,2x2x，,2x≥0，))
解得－10，,0，x＝0，,－x2－4x，xx，可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x>x，,x>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－4x>x，,x5或－50，b>0，a≠1，b≠1)．设a＝2，b＝eq \f(1,2).
(1)求方程f(x)＝2的根；
(2)若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．
[解] 因为a＝2，b＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝2x＋2－x.2分
(1)方程f(x)＝2，即2x＋2－x＝2，亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，即2x＝1，解得x＝0.5分
(2)由条件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.
因为f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)>0，
所以m≤eq \f(fx2＋4,fx)对于x∈R恒成立.8分
而eq \f(fx2＋4,fx)＝f(x)＋eq \f(4,fx)≥2eq \r(fx·\f(4,fx))＝4，且eq \f(f02＋4,f0)＝4，
所以m≤4，故实数m的最大值为4.12分
[规律方法]
基本不等式综合应用中的常见类型及求解方法
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．
[对点训练3] (1)设a，b，c∈(0，＋∞)，则“abc＝1”是“eq \f(1,\r(a))＋eq \f(1,\r(b))＋eq \f(1,\r(c))≤a＋b＋c”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则eq \f(x＋8y,xy)的最小值为__________．
(1)A (2)9 [(1)当a＝b＝c＝2时，有eq \f(1,\r(a))＋eq \f(1,\r(b))＋eq \f(1,\r(c))≤a＋b＋c，
但abc≠1，所以必要性不成立．
当abc＝1时，eq \f(1,\r(a))＋eq \f(1,\r(b))＋eq \f(1,\r(c))＝eq \f(\r(bc)＋\r(ac)＋\r(ab),\r(abc))＝eq \r(bc)＋eq \r(ac)＋eq \r(ab)，
a＋b＋c＝eq \f(a＋b＋b＋c＋a＋c,2)≥eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ac)，所以充分性成立．
故“abc＝1”是“eq \f(1,\r(a))＋eq \f(1,\r(b))＋eq \f(1,\r(c))≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
(2)由已知得eq \f(x＋2y,2)＝1.
则eq \f(x＋8y,xy)＝eq \f(1,y)＋eq \f(8,x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)＋\f(8,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2y,2)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋\f(x,y)＋\f(16y,x)))≥eq \f(1,2)(10＋2 eq \r(16))＝9，
当且仅当x＝eq \f(4,3)，y＝eq \f(1,3)时取等号．]