高三数学一轮复习： 选修4-5 第1节 绝对值不等式

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1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解法：
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解；
②利用零点分段法求解；
③构造函数，利用函数的图象求解．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．( )
(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0.( )
(3)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.( )
(4)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)＜x＜\f(1,3)))))，则实数a＝________.
－3 [依题意，知a≠0.
又|ax－2|＜3⇔－3＜ax－2＜3，
∴－1＜ax＜5.
由于|ax－2|＜3的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)＜x＜\f(1,3)))))，
∴a＜0，eq \f(5,a)＝－eq \f(5,3)且－eq \f(1,a)＝eq \f(1,3)，则a＝－3.]
3．(教材改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－3]∪[3，＋∞) [由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，
要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，
只需|a|≥3，∴a≥3或a≤－3.]
4．解不等式x＋|2x＋3|≥2.
[解] 当x≥－eq \f(3,2)时，原不等式化为3x＋3≥2，3分
解得x≥－eq \f(1,3).6分
当x＜－eq \f(3,2)时，原不等式化为－x－3≥2，
解得x≤－5.8分
综上，原不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－5或x≥－\f(1,3))))).10分
5．(2016·江苏高考)设a>0，|x－1|