高三数学一轮复习： 第10章 第2节 排列与组合

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1．排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Aeq \\al(m,n)表示．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Ceq \\al(m,n)表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )
(3)若组合式Ceq \\al(x,n)＝Ceq \\al(m,n)，则x＝m成立．( )
(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言( )
A．1 560条 B.780条
C.1 600条 D.800条
A [由题意，得毕业留言共Aeq \\al(2,40)＝1 560条．]
3．(2016·四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B.48
C.60 D.72
D [第一步，先排个位，有Ceq \\al(1,3)种选择；
第二步，排前4位，有Aeq \\al(4,4)种选择．
由分步乘法计数原理，知有Ceq \\al(1,3)·Aeq \\al(4,4)＝72(个)．]
4．(2017·唐山调研)某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85 B.56
C.49 D.28
C [法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有Ceq \\al(1,7)Ceq \\al(2,2)种方法，
甲、乙两人只有1人入选，有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,7)种方法，
由分类加法计数原理，共有Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,7)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,7)＝49种选法．
法二(间接法)：从9人中选3人有Ceq \\al(3,9)种方法，
其中甲、乙均不入选有Ceq \\al(3,7)种方法，
∴满足条件的选排方法有Ceq \\al(3,9)－Ceq \\al(3,7)＝84－35＝49种．]
5．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有________种．
60 [5人的全排列，B站在A的右边与A站在B的右边各占一半，
∴满足条件的不同排法共eq \f(1,2)Aeq \\al(5,5)＝60种．]
(1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192种 B.216种
C.240种 D.288种
(2)(2017·北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.
【导学号：01772381】
(1)B (2)36 [(1)第一类：甲在左端，
有Aeq \\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120种方法；
第二类：乙在最左端，
有4Aeq \\al(4,4)＝4×4×3×2×1＝96种方法，
所以共有120＋96＝216种方法．
(2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)种方法．再将C插入，仅有3个空位可选，共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)Ceq \\al(1,3)＝2×6×3＝36种不同的摆法．]
[规律方法] 1.第(1)题求解的关键是按特殊元素甲、乙的位置进行分类．注意特殊元素(位置)优先原则，即先排有限制条件的元素或有限制条件的位置．对于分类过多的问题，可利用间接法．
2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法等常用的解题方法．
[变式训练1] 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( )
A．34种 B.48种
C.96种 D.144种
C [程序A的顺序有Aeq \\al(1,2)＝2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的元素排列有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)＝48种结果，
由分步乘法计数原理，实验编排共有2×48＝96种方法．]
(1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60种 B.63种
C.65种 D.66种
(2)(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )
A．18个 B.16个
C.14个 D.12个
(1)D (2)C [(1)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，
∴不同的取法共有Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,4)＝66种．
(2)由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有Ceq \\al(3,6)＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有Ceq \\al(1,4)＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．
故共有14个．故选C.]
[规律方法] 1.(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
2．第(2)题是“新定义”问题，首先理解“规范01数列”的定义是解题的关键，注意分类讨论时要不重不漏，并重视间接法的应用．
[变式训练2] 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．
472 [第一类，含有1张红色卡片，不同的取法Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,12)＝264种．第二类，不含有红色卡片，不同的取法Ceq \\al(3,12)－3Ceq \\al(3,4)＝220－12＝208种．
由分类加法计数原理，不同的取法共264＋208＝472种．]
☞角度1 简单的排列与组合的综合问题
(2017·成都质检)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )
A．144个 B.120个
C．96个 D.72个
B [当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,4)＝48个；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,4)＝72个，
所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120个．]
☞角度2 分组分配问题
(2017·江南名校联考)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有( )
【导学号：01772382】
A．240种 B.180种
C.150种 D.540种
C [5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式．
当5名学生分成2,2,1时，共有eq \f(1,2)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)＝90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有Ceq \\al(3,5)Aeq \\al(3,3)＝60种方法．
由分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．]
[规律方法] 1.解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．对于排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素，再对取出的元素排列．
2．(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
(2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”．
[思想与方法]
1．解有附加条件的排列、组合应用题的三种思路：
(1)特殊元素、特殊位置优先原则．
(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决，分类标准应统一．
(3)解排列、组合的综合题一般是先选再排，先分组再分配．
2．求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”
[易错与防范]
1．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．
2．计算Aeq \\al(m,n)时易错算为n(n－1)(n－2)…(n－m)．
3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数，是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．
4．解组合应用题时，应注意“至少”“至多”“恰好”等词的含义．
5．对于分配问题，一般是坚持先分组，再分配的原则，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏．名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！)
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)
＝eq \f(n！,m！n－m！)
性质
(1)0！＝1；Aeq \\al(n,n)＝n!
(2)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)
排列应用题
组合应用题
排列与组合的综合应用