高三数学一轮复习： 热点探究训练2 三角函数与解三角形中的高考热点问题

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热点探究训练(二)　三角函数与解三角形中的高考热点问题1．(2016·江苏高考)在△ABC中，AC＝6，cos  B＝，C＝.(1)求AB的长；(2)求cos的值．[解]　(1)因为cos B＝，0<B<π，所以sin B＝＝＝.2分由正弦定理知＝，所以AB＝＝＝5.5分(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，于是cos A＝－cos(B＋C)＝－cos＝－cos Bcos ＋sin Bsin .7分又cos B＝，sin B＝，故cos A＝－×＋×＝－.9分因为0<A<π，所以sin A＝＝.因此，cos＝cos Acos ＋sin Asin ＝－×＋×＝.12分2．(2016·山东高考)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．[解]　(1)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2＝2sin2x－(1－2sin xcos x)＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1＝sin 2x－cos 2x＋－1＝2sin＋－1，3分由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).6分(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，8分把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin＋－1的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到y＝2sin x＋－1的图象，即g(x)＝2sin x＋－1，所以g＝2sin ＋－1＝.12分3．设f(x)＝sin xcos x－cos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．[解]　(1)由题意知f(x)＝－＝－＝sin 2x－.2分由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；3分由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.4分所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z).5分(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，由题意知A为锐角，所以cos A＝.7分由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，9分即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．因此bcsin A≤.所以△ABC面积的最大值为.12分4．(2017·郑州二次质量预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos 2C－cos 2A＝2sin·sin.(1)求角A的值；(2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．[解]　(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2，3分化简得sin A＝，故A＝或A＝.5分(2)由正弦定理＝＝＝2，得b＝2sin B，c＝2sin C，7分故2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin＝3sin B－cos B＝2sin.9分因为b≥a，所以≤B<，≤B－<，所以2b－c＝2sin∈[，2).12分