高三数学一轮复习： 第10章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：
1．从考查题型看：一般有1～2个客观题，1个解答题；从考查分值看，占10～22分，基础题主要考查对基础知识和基本方法的应用意识，中档题主要考查转化与化归思想及运算求解能力．
2．从考查知识点看：主要考查计数原理、排列与组合、二项式定理、随机事件的概率、古典概型与几何概型、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差．
3．从命题思路上看：
(1)计数原理、排列组合与古典概型相结合考查．
(2)几何概型与线性规划、定积分等知识相结合考查．
(3)随机事件的概率、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差和统计知识交汇考查．
(4)相互独立事件、二项分布、超几何分布、正态分布、实际问题等其他知识交汇考查．
[导学心语]
1．全面系统复习，深刻理解知识本质
(1)重视计数原理、二项式定理的理解，深刻把握排列组合、随机事件、古典概型、几何概型、离散型随机变量及其分布列、条件概率、二项分布、离散型随机变量的均值与方差、正态分布等概念，研究事件的概率，注意该事件的特征，用适当的概率模型求解．
(2)注意各类概率公式和概率模型的理解和应用，掌握其适用条件和用法．
2．抓住重点、针对训练
通过对近5年全国卷高考试题分析，可以预测，在2017年，本章问题考查的重点是：
(1)计数原理、二项式定理、古典概型、几何概型．
(2)离散型随机变量及其分布列、期望与方差．做针对性训练，通过小题强化概率各种题型的计算，通过解答题训练巩固离散型随机变量及分布列问题．
3．重视转化与化归思想的应用
研究计数原理、概率、随机变量及其分布列问题，转化与化归思想贯穿始终，首先需要将实际问题转化为相应的计数问题、排列组合问题、概率计算问题、离散型随机变量的分布列与均值、方差等的计算问题，其次将概率的计算转化为计数问题、长度或面积的计算问题，将求分布列问题转化为概率的计算问题，将复杂事件的概率计算转化为简单事件的概率计算．
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[考纲传真] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有( )
A．30 B.20
C.10 D.6
D [从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类：①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．]
3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有( )
A．30个 B.42个
C.36个 D.35个
C [∵a＋bi为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，
由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．]
4．(2016·全国卷Ⅱ)如图10­1­1，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
图10­1­1
A．24 B.18
C.12 D.9
B [分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路程．]
5.现有4种不同的颜色要对如图10­1­2所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．
图10­1­2
48 [按A→B→C→D顺序分四步涂色，共4×3×2×2＝48种不同的着色方法．]
(1)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B.6种
C.10种 D.16种
(2)(2017·青岛二中月考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
【导学号：01772376】
A．14 B.13
C.12 D.10
(1)B (2)B [(1)分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法(如图)，甲乙丙乙甲甲乙甲丙甲
同理，甲先传给丙时，满足条件有3种方法．
由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法．
(2)①当a＝0时，有x＝－eq \f(b,2)，b＝－1,0,1,2，有4种可能；
②当a≠0时，则Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，
(ⅰ)当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；
(ⅱ)当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；
(ⅲ)当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．
∴有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13个．]
[规律方法] 1.第(2)题常见的错误：
(1)想当然认为a≠0；
(2)误认为a≠b.
2．分类标准是运用分类计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．
[变式训练1] 从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3 B.4
C.6 D.8
D [以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.
以4为首项的等比数列为4,6,9.
把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，
∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8个．]
(1)(2017·山东威海模拟)某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有( )
A．Ceq \\al(2,6)·45种 B.Aeq \\al(2,6)·54种
C．Ceq \\al(2,6)·Aeq \\al(4,5)种 D.Ceq \\al(2,6)·54种
(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．
(1)D (2)120 [(1)有两个年级选择甲博物馆共有Ceq \\al(2,6)种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况，
故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有Ceq \\al(2,6)×54种．
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120种．]
[规律方法] 1.利用分步乘法计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．
2．在第(1)题中，除仅有两个年级选择甲博物馆外，其余4个年级易错误认为有45种选择方法．导致错选A项．
[变式训练2] (1)设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数为________．
(2)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________．(用数字作答)
(1)10 (2)8 [(1)易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，
∴x有2种取法，y有5种取法，
由分步乘法计数原理，A*B的元素有2×5＝10个．
(2)第1步把甲、乙分到不同班级有Aeq \\al(2,2)＝2种分法．
第2步分丙、丁：①丙、丁分到同一班级有2种分法，②丙、丁分到两个不同的班级有Aeq \\al(2,2)＝2种分法．
由计数原理，不同的分法为2×(2＋2)＝8种．]
(1)(2017·杭州调研)已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，x 【导学号：01772377】
(2)如图10­1­3，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法．
图10­1­3
(1)17 (2)260 [(1)当A＝{1}时，B有23－1种情况；当A＝{2}时，B有22－1种情况；当A＝{3}时，B有1种情况；当A＝{1,2}时，B有22－1种情况；当A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况，
所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(个)．
(2)区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法，
所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂色方法．]
[规律方法] 1.(1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步．在分步时可能又用到分类加法计数原理．
(2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．
2．解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成，第(2)题中，由于共边的区域不同色，从而是按区域A与区域C是否同色分类处理的．
[变式训练3] (2017·厦门市联考)用a代表红球，b代表蓝球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取，“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)
B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)
C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)
D．(1＋a5)(1＋b5)
A [分两步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5种不同的取法．
第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有1＋b5种不同取法．
由分步乘法计数原理，共有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)种取法．]
[思想与方法]
1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
2．涉及加法与乘法原理的混合问题一般是先分类再分步．
3．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．
[易错与防范]
1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．
2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．
3．确定题目中是否有特殊条件限制．
考点
2016年
2015年
2014年
2013年
2012年
计数原理、排列组合
全国卷Ⅱ·T5，
全国卷Ⅲ·T12
全国卷·T2
二项式定理
全国卷Ⅰ·T14
全国卷Ⅰ·T10
全国卷Ⅱ·T15
全国卷Ⅱ·T13
全国卷Ⅰ·T9
全国卷Ⅱ·T5
随机事件的概率、古典概型与几何概型
全国卷Ⅰ·T4
全国卷Ⅱ·T10
全国卷Ⅰ·T5
全国卷Ⅱ·T5
全国卷Ⅱ·T14
条件概率、二项分布、离散型随机变量的分布列、均值与方差
全国卷Ⅰ·T19
全国卷Ⅱ·T18
全国卷Ⅰ·T4
全国卷Ⅱ·T18
全国卷Ⅰ·T19
全国卷Ⅱ·T19
全国卷·T18
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
两个计数原理的综合应用