高考数学一轮复习讲义第1章第1节集合及其运算

这是一份高考数学一轮复习讲义第1章第1节集合及其运算，共11页。试卷主要包含了集合与元素，A∩＝∅；A∪＝U；∁U＝A.，又P＝[1,3]，等内容，欢迎下载使用。


1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
【知识拓展】
1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.
2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
3．A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × )
(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( × )
(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √ )
(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √ )
(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( × )
1．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤eq \r(10)}，a＝2eq \r(2)，则下列结论正确的是( )
A．{a}⊆AB．a⊆A
C．{a}∈AD．a∉A
答案 D
解析 由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2eq \r(2)，知a∉A.
2．(2016·杭州质检)设集合A＝{x|x2－2x≥0}，B＝{x|－1A．{x|－1≤x≤0}B．{x|0C．{x|－1答案 B
解析 因为A＝{x|x≥2或x≤0}，所以∁RA＝{x|03．(2016·天津)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于( )
A．{1}B．{4}
C．{1,3}D．{1,4}
答案 D
解析 因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；
当x＝2时，y＝3×2－2＝4；
当x＝3时，y＝3×3－2＝7；
当x＝4时，y＝3×4－2＝10；
即B＝{1,4,7,10}．
又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.
4．(2016·云南名校联考)集合A＝{x|x－2<0}，B＝{x|x答案 [2，＋∞)
解析 由A∩B＝A，知A⊆B，
从数轴观察得a≥2.
题型一 集合的含义
例1 (1)(2016·济南模拟)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是( )
A．9B．8C．7D．6
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.
答案 (1)B (2)0或eq \f(9,8)
解析 (1)当a＝0时，a＋b＝1,2,6；
当a＝2时，a＋b＝3,4,8；
当a＝5时，a＋b＝6,7,11.
由集合中元素的互异性知P＋Q中有1,2,3,4,6,7,8,11共8个元素．
(2)若a＝0，则A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))，符合题意；
若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝eq \f(9,8).
综上，a的值为0或eq \f(9,8).
思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
(1)(2016·宁波模拟)已知A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是( )
A．－1∉AB．－11∈A
C．3k2－1∈A(k∈Z) D．－34∉A
(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝________.
答案 (1)C (2)2
解析 (1)∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.
(2)因为{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，
所以a＋b＝0，得eq \f(b,a)＝－1，
所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.
题型二 集合的基本关系
例2 (1)(2016·余姚一模)设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的B的个数是( )
A．5B．4C．3D．2
(2)已知集合A＝{x|x2－2017x＋2016<0}，B＝{x|x答案 (1)B (2)[2016，＋∞)
解析 (1)∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}，
∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．
(2)由x2－2017x＋2016<0，解得1故A＝{x|1又B＝{x|x可得a≥2016.
引申探究
本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．
答案 (－∞，1]
解析 A＝{x|1可得a≤1.
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
(1)(2016·宁波模拟)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{1，x，x2－x}，且B⊆A，则x等于( )
A．1B．0C．2D．－1
(2)(2016·连云港模拟)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1答案 (1)D (2)(－∞，4]
解析 (1)当x＝0时，x2－x＝0，不满足条件；
当x＝2时，x2－x＝2，不满足条件；
当x＝－1时，x2－x＝2，满足条件，
所以x＝－1，故选D.
(2)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2；
当B≠∅时，若B⊆A，如图，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1<2m－1，))解得2综上，m的取值范围为(－∞，4]．
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例3 (1)(2016·全国乙卷)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)))B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))
(2)(2016·浙江)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)等于( )
A．[2,3]B．(－2,3]
C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
答案 (1)D (2)B
解析 (1)由A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1B＝{x|2x－3>0}＝{x|x>eq \f(3,2)}，
得A∩B＝{x|eq \f(3,2)(2)由已知得Q＝{x|x≥2或x≤－2}．
∴∁RQ＝(－2,2)．又P＝[1,3]，
∴P∪(∁RQ)＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]．
命题点2 利用集合的运算求参数
例4 (1)已知集合P＝[1,3]，集合Q＝(－∞，a)∪(b，＋∞)，其中aA．a＝2，b＝3B．a＝2，b≤3
C．a＝2，b≥3D．a≤2，b≥3
(2)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．－12
C．a≥－1D．a>－1
答案 (1)C (2)D
解析 (1)因为∁RQ＝[a，b]，P∩(∁RQ)＝[a，b]∩[1,3]＝[2,3]，所以a＝2，b≥3，故选C.
(2)因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.
思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
(1)(2016·山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)
(2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1A．[－1,2) B．[－1,3]
C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)
答案 (1)C (2)D
解析 (1)∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.
(2)由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B⊆A.
①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.
②当B≠∅时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1综上，m的取值范围为[－1，＋∞)．
题型四 集合的新定义问题
例5 若对任意的x∈A，eq \f(1,x)∈A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M＝{－1,0，eq \f(1,2)，1,2}的所有非空子集中，具有伙伴关系集合的个数为________．
答案 7
解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和eq \f(1,2)共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，{eq \f(1,2)，2}，{－1,1}，{－1，eq \f(1,2)，2}，{1，eq \f(1,2)，2}，{－1,1，eq \f(1,2)，2}，共7个．
思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点
(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；
(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于( )
A．{x|3C．{x|3答案 B
解析 A＝{x|11．集合关系及运算
典例 (1)已知集合A＝{1,3，eq \r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )
A．0或eq \r(3)B．0或3
C．1或eq \r(3)D．1或3或0
(2)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若B⊆A，则实数a的取值范围是________．
错解展示
解析 (1)由A∪B＝A得B⊆A，∴m＝3或m＝eq \r(m)，
故m＝3或m＝0或m＝1.
(2)∵B⊆A，讨论如下：
①当B＝A＝{0，－4}时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4a＋12－4a2－1>0，,－2a＋1＝－4，,a2－1＝0，))
解得a＝1.
②当BA时，由Δ＝0得a＝－1，
此时B＝{0}满足题意，
综上，实数a的取值范围是{1，－1}．
答案 (1)D (2){1，－1}
现场纠错
解析 (1)A＝{1,3，eq \r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B⊆A，所以m＝3或m＝eq \r(m)，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3，故选B.
(2)因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：
①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4a＋12－4a2－1>0，,－2a＋1＝－4，,a2－1＝0，))解得a＝1；
②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，
并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；
③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
解得a<－1.
综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．
答案 (1)B (2)(－∞，－1]∪{1}
纠错心得 (1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验．
(2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况.
1．(2016·台州模拟)若A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则( )
A．A⊆BB．B⊆A
C．A＝BD．A∩B＝∅
答案 A
解析 ∵k∈Z，∴4k＋1∈B，∴A⊆B.
2．(2016·四川)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( )
A．3B．4C．5D．6
答案 C
解析 由题意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩Z中元素的个数为5.故选C.
3．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集的个数为( )
A．8B．4C．3D．2
答案 B
解析 由题意得P＝{3,4}，∴集合P有4个子集．
4．(2016·绍兴期末调研)设集合S＝{x|x>2}，T＝{x|x2－x－12≤0}，则S∩T等于( )
A．[3，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(2,3] D．(2,4]
答案 D
解析 由x2－x－12≤0，得－3≤x≤4，
所以T＝{x|－3≤x≤4}，所以S∩T＝(2,4]，故选D.
5．(2017·杭州二中月考)已知全集为U，集合M＝{x|－2≤x<2}，N＝{x|y＝lg2(x－1)}，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．{x|－2≤x≤1}B．{x|1C．{x|1≤x<2}D．{x|－2≤x<0}
答案 A
解析 由x－1>0，解得x>1，所以N＝{x|x>1}．
图中阴影部分表示的集合为M∩(∁UN)，
又∁UN＝{x|x≤1}，
所以M∩(∁UN)＝{x|－2≤x≤1}，故选A.
6．已知集合A＝{x|－1A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
答案 B
解析 用数轴表示集合A，B(如图)，
由A⊆B，得a≥0.
7．(2015·浙江)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁RP)∩Q等于( )
A．[0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．[1,2]
答案 C
解析 ∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁RP＝{x|0＜x＜2}，
∴(∁RP)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.
8．(2016·杭州第二中学考试)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
答案 B
解析 由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.
9．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1B．2C．3D．4
答案 D
解析 由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}．
∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．
*10.设集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|m≤x≤m＋\f(3,4)))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|n－\f(1,3)≤x≤n))，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是( )
A.eq \f(1,3)B.eq \f(2,3)C.eq \f(1,12)D.eq \f(5,12)
答案 C
解析 由已知，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥0，,m＋\f(3,4)≤1，))即0≤m≤eq \f(1,4)；
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n－\f(1,3)≥0，,n≤1，))即eq \f(1,3)≤n≤1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))，N＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))，所以M∩N＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))∩eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,4)))，此时集合M∩N的“长度”的最小值为eq \f(3,4)－eq \f(2,3)＝eq \f(1,12)，故选C.
11．(2016·浙江五校高三联考)定义集合A＝{x|2x≥1}，B＝{x|lgx<0}，则A∩(∁UB)＝________.
答案 [0,1]
解析 ∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|x>1}，∴∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩(∁UB)＝[0,1]．
12．(2016·诸暨高三5月质检)已知集合P＝{1，m}，Q＝{m2}，若P∪Q＝P，则实数m的值是________．
答案 0或－1
解析 由P∪Q＝P，得Q⊆P，∴m2∈{1，m}，
当m2＝1时，m＝1(舍)或m＝－1；
当m2＝m时，m＝1(舍)或m＝0.
综上，m＝－1或m＝0.
13．(2016·临安模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|y＝eq \r(x2－2x－3)}，B＝{y|y＝ex＋1}，则A∪B＝__________.
答案 (－∞，－1]∪(1，＋∞)
解析 因为A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{y|y>1}，
所以A∪B＝{x|x>1或x≤－1}．
14．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是__________．
答案 (－∞，1]
解析 ∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.
15．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．
答案 5
解析 当x＝0，y＝0时，x－y＝0；
当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；
当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；
当x＝1，y＝0时，x－y＝1；
当x＝1，y＝1时，x－y＝0；
当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；
当x＝2，y＝0时，x－y＝2；
当x＝2，y＝1时，x－y＝1；
当x＝2，y＝2时，x－y＝0.
根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．
*16.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
答案 －1 1
解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，
则B＝{x|m集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB
(或BA)
集合相等
集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集
A＝B
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}