高考数学一轮复习讲义第2章第4节二次函数与幂函数

这是一份高考数学一轮复习讲义第2章第4节二次函数与幂函数，共13页。试卷主要包含了二次函数，幂函数的图象和性质等内容，欢迎下载使用。


1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
2.幂函数
(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的图象比较
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②幂函数的图象过定点(1,1)；
③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
【知识拓展】
1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0))时恒有f(x)>0，当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0))时，恒有f(x)<0.
2．幂函数的图象和性质
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．
(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是eq \f(4ac－b2,4a).( × )
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( × )
(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ )
(4)函数是幂函数．( × )
(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ )
(6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( × )
1．(教材改编)已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是( )
A．a≥3 B．a≤3
C．a＜－3 D．a≤－3
答案 D
解析 函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，
∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.
2．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( )
答案 D
解析 由a＋b＋c＝0和a>b>c知a>0，c<0，
由c<0，排除A，B，又a>0，排除C.
3．幂函数(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
(a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，
又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．
答案 [1,2]
解析 如图，由图象可知m的取值范围是[1,2]．
5．(教材改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(2),2)))，则此函数的解析式为________；在区间________上递减．
答案 (0，＋∞)
解析 设f(x)＝xa，则2a＝eq \f(\r(2),2)，
∴a＝－eq \f(1,2)，即幂函数的解析式为，单调减区间为(0，＋∞)．
题型一 求二次函数的解析式
例1 (1)(2016·太原模拟)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.
答案 x2＋2x
解析 设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)，
所以f(x)＝ax2＋2ax，由eq \f(4a×0－4a2,4a)＝－1，
得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.
(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解 ∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，
∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
又f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，a＝1，
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
思维升华 求二次函数解析式的方法
(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.
(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
答案 (1)x2＋2x＋1 (2)－2x2＋4
解析 (1)设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，
由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，∴a＝1，
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，
∴－a＝－(－eq \f(2a,b))，即b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，
又f(x)的值域为(－∞，4]，
∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.
题型二 二次函数的图象和性质
命题点1 二次函数的单调性
例2 函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( )
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0]D．[－3,0]
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝eq \f(3－a,2a)，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,\f(3－a,2a)≤－1，))
解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3,0]．
引申探究
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
答案 －3
解析 由题意知a<0，
又eq \f(3－a,2a)＝－1，∴a＝－3.
命题点2 二次函数的最值
例3 已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数f(x)的最小值．
解 (1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上单调递减，
∴f(x)min＝f(1)＝－2.
(2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向上
且对称轴为x＝eq \f(1,a).
①当0f(x)＝ax2－2x的对称轴在[0,1]内，
∴f(x)在[0，eq \f(1,a)]上单调递减，在[eq \f(1,a)，1]上单调递增．
∴f(x)min＝f(eq \f(1,a))＝eq \f(1,a)－eq \f(2,a)＝－eq \f(1,a).
②当eq \f(1,a)>1，即0∴f(x)在[0,1]上单调递减．
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
(3)当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向下
且对称轴x＝eq \f(1,a)<0，在y轴的左侧，
∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上单调递减，
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
综上所述，f(x)min＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2，a<1，,－\f(1,a)，a≥1.))
命题点3 二次函数中的恒成立问题
例4 (1)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________________．
(2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．
答案 (1)(－∞，－1) (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
解析 (1)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
(2)2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．
当x＝0时，－3<0，成立；
当x≠0时，a综上，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))).
思维升华 (1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
(1)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析 由题意得a>eq \f(2,x)－eq \f(2,x2)对1又eq \f(2,x)－eq \f(2,x2)＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)，eq \f(1,4)∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)－\f(2,x2)))max＝eq \f(1,2)，∴a>eq \f(1,2).
(2)已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)的最小值．
解 ∵函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∴对称轴为直线x＝1，
∵x＝1不一定在区间[－2，a]内，∴应进行讨论，当－21时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，f(x)取得最小值，
即f(x)min＝－1.
综上，当－2当a>1时，f(x)min＝－1.
题型三 幂函数的图象和性质
例5 (1)(2016·济南诊断测试)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
(2)若则实数m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(－\r(5)－1,2)))B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，＋∞))
C．(－1,2) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，2))
答案 (1)C (2)D
解析 (1)由幂函数的定义知k＝1.又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(\r(2),2)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))α＝eq \f(\r(2),2)，解得α＝eq \f(1,2)，从而k＋α＝eq \f(3,2).
(2)因为函数的定义域为[0，＋∞)
且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋1≥0，,m2＋m－1≥0，,2m＋1>m2＋m－1，))
解2m＋1≥0，得m≥－eq \f(1,2)；
解m2＋m－1≥0，得m≤eq \f(－\r(5)－1,2)或m≥eq \f(\r(5)－1,2)；
解2m＋1>m2＋m－1，得－1综上所述，m的取值范围是eq \f(\r(5)－1,2)≤m<2.
思维升华 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
(2016·昆明模拟)幂函数的图象经过点(4,2)，若0A．f(a)C．f(a)答案 C
解析 设幂函数为f(x)＝xα，将(4,2)代入得α＝eq \f(1,2)，
所以该函数在(0，＋∞)上为增函数，
又0eq \f(1,b)>1，
即a所以f(a)3．分类讨论思想在二次函数最值中的应用
典例 (10分)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
思想方法指导 已知函数f(x)的最值，而f(x)图象的对称轴确定，要讨论a的符号．
规范解答
解 f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.[1分]
(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；[3分]
(2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝eq \f(3,8)；[6分]
(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.[9分]
综上可知，a的值为eq \f(3,8)或－3.[10分]
1．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为( )
A．－3 B．13 C．7 D．5
答案 B
解析 函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，
∴m＝－8，∴f(1)＝2＋8＋3＝13.
2．幂函数(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ∵(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，
∴m2－4m<0，即0又∵函数的图象关于y轴对称且m∈Z，
∴m2－4m为偶数，因此m＝2.
3．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[0,4]D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
答案 C
解析 由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)，
若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4.
4．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－eq \f(25,4)，－4]，则m的取值范围是( )
A．[0,4]B．[eq \f(3,2)，4]
C．[eq \f(3,2)，＋∞) D．[eq \f(3,2)，3]
答案 D
解析 二次函数图象的对称轴为x＝eq \f(3,2)且f(eq \f(3,2))＝－eq \f(25,4)，f(3)＝f(0)＝－4，
由图得m∈[eq \f(3,2)，3]．
5．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
答案 B
解析 ∵函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，
∴函数的最大值在区间的端点处取得，
∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a≥4－3a，,－a＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a≤4－3a，,4－3a＝1，))解得a＝1.
6．已知二次函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1A．f(x1)＝f(x2)B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)答案 C
解析 该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝eq \f(1,4)，
又依题意，得x1<0，x2>0，又x1＋x2＝0，
则eq \f(1,4)－x1>x2－eq \f(1,4)，故f(x1)7．(2016·烟台模拟)已知幂函数，若f(a＋1)答案 (3,5)
解析 ∵幂函数单调递减，定义域为(0，＋∞)，
∴由f(a＋1)0，,10－2a>0，,a＋1>10－2a，))
解得38．当0答案 h(x)>g(x)>f(x)
解析 如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可知，h(x)>g(x)>f(x)．
9．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
答案 (－∞，－5]
解析 方法一 ∵不等式x2＋mx＋4<0对x∈(1,2)恒成立，
∴mx<－x2－4对x∈(1,2)恒成立，
即m<－(x＋eq \f(4,x))对x∈(1,2)恒成立，
令y＝x＋eq \f(4,x)，则函数y＝x＋eq \f(4,x)在x∈(1,2)上是减函数．
∴4方法二 设f(x)＝x2＋mx＋4，当x∈(1,2)时，
f(x)<0恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1≤0，,f2≤0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≤－5，,m≤－4))⇒m≤－5.
*10.若函数f(x)＝x2－a|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－ax＋a，x∈[1，＋∞，,x2＋ax－a，x∈－∞，1，))
x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x2－ax＋a＝(x－eq \f(a,2))2＋a－eq \f(a2,4)，
x∈(－∞，1)时，f(x)＝x2＋ax－a＝(x＋eq \f(a,2))2－a－eq \f(a2,4).
①当eq \f(a,2)>1，即a>2时，f(x)在[1，eq \f(a,2))上单调递减，在(eq \f(a,2)，＋∞)上单调递增，不合题意；
②当0≤eq \f(a,2)≤1，即0≤a≤2时，符合题意；
③当eq \f(a,2)<0，即a<0时，不符合题意．
综上，a的取值范围是[0,2]．
11．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]．
∵f(x)的对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，f(x)取最小值1；
当x＝－5时，f(x)取最大值37.
(2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数，
∴－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.
故实数a的取值范围为a≤－5或a≥5.
12．已知幂函数(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数f(x)的图象经过点(2，eq \r(2))，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解 (1)因为m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，
而m与m＋1中必有一个为偶数，所以m2＋m为偶数，
所以函数(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．
(2)因为函数f(x)的图象经过点(2，eq \r(2))，
所以即
所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.
又因为m∈N*，所以m＝1，
又因为f(2－a)>f(a－1)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a≥0，,a－1≥0，,2－a＞a－1，))解得1≤a＜eq \f(3,2)，
故函数f(x)的图象经过点(2，eq \r(2))时，m＝1.
满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为[1，eq \f(3,2))．
13．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
解 要使f(x)≥0恒成立，则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a)．
(1)当－eq \f(a,2)<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤eq \f(7,3)，故此时a不存在；
(2)当－eq \f(a,2)∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＝3－a－eq \f(a2,4)≥0，得－6≤a≤2，
又－4≤a≤4，故－4≤a≤2；
(3)当－eq \f(a,2)>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，
得a≥－7，又a<－4，故－7≤a<－4，
综上得－7≤a≤2.解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
单调性
在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；
在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增
在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；
在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减
对称性
函数的图象关于x＝－eq \f(b,2a)对称