高考数学一轮复习讲义第8章第6节空间向量及其运算

这是一份高考数学一轮复习讲义第8章第6节空间向量及其运算，共19页。试卷主要包含了空间向量的有关概念，空间向量的数量积及运算律，空间向量的坐标表示及其应用，向量四点共面定理，坐标法在立体几何中的应用等内容，欢迎下载使用。

1．空间向量的有关概念
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
【知识拓展】
1．向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．向量四点共面定理：在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是：eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两非零向量a，b共面．( √ )
(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )
(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( × )
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × )
(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0.( √ )
1．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))的值为( )
A．a2B.eq \f(1,2)a2 C.eq \f(1,4)a2D.eq \f(\r(3),4)a2
答案 C
解析 如图，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)c，
∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)·eq \f(1,2)c＝eq \f(1,4)(a·c＋b·c)＝eq \f(1,4)(a2cs 60°＋a2cs 60°)＝eq \f(1,4)a2.
2．(2016·大连模拟)向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是( )
A．a∥b，a∥cB．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥bD．以上都不对
答案 C
解析 因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，
所以a∥c.
又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，
所以a⊥b.故选C.
3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是________________________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),10)，\f(2\r(2),5)，－\f(\r(2),2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(2),10)，－\f(2\r(2),5)，\f(\r(2),2)))
解析 因为与向量a共线的单位向量是±eq \f(a,|a|)，又因为向量(－3，－4,5)的模为eq \r(－32＋－42＋52)＝5eq \r(2)，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±eq \f(1,5\r(2))(－3，－4，5)＝±eq \f(\r(2),10)(－3，－4,5)．
4.如图，在四面体O－ABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq \(OE,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)
答案 eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c
解析 eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c.
5．(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________．
答案 eq \r(2)
解析 |eq \(EF,\s\up6(→))|2＝eq \(EF,\s\up6(→))2＝(eq \(EC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))2
＝eq \(EC,\s\up6(→))2＋eq \(CD,\s\up6(→))2＋eq \(DF,\s\up6(→))2＋2(eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→)))
＝12＋22＋12＋2(1×2×cs 120°＋0＋2×1×cs 120°)
＝2，
∴|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，∴EF的长为eq \r(2).
题型一 空间向量的线性运算
例1 (1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
用eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))表示eq \(OC1,\s\up6(→))，则eq \(OC1,\s\up6(→))＝________________.
答案 eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))
解析 eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，
∴eq \(OC1,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(AA1,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→)).
(2)三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))表示eq \(MG,\s\up6(→))，eq \(OG,\s\up6(→)).
解 eq \(MG,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AN,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)[eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))－eq \(OA,\s\up6(→))]
＝－eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)).
eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)).
思维升华 用已知向量表示某一向量的方法
用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
(2016·青岛模拟)如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设eq \(AA1,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)eq \(AP,\s\up6(→))；
(2)eq \(MP,\s\up6(→))＋eq \(NC1,\s\up6(→)).
解 (1)因为P是C1D1的中点，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(→))＋eq \(D1P,\s\up6(→))
＝a＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(D1C1,\s\up6(→))
＝a＋c＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq \f(1,2)b.
(2)因为M是AA1的中点，
所以eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)a＋(a＋c＋eq \f(1,2)b)
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.
又eq \(NC1,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)c＋a，
所以eq \(MP,\s\up6(→))＋eq \(NC1,\s\up6(→))＝(eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c)＋(a＋eq \f(1,2)c)
＝eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(3,2)c.
题型二 共线定理、共面定理的应用
例2 (2016·天津模拟)如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求证：BD∥平面EFGH；
(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))．
证明 (1)连接BG，
则eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))
＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))
＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(EH,\s\up6(→))
＝eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(EH,\s\up6(→))，
由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．
(2)因为eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(AH,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))，
所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.
由(2)知eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))，
同理eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))，
所以eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(FG,\s\up6(→))，即EH綊FG，
所以四边形EFGH是平行四边形，
所以EG，FH交于一点M且被M平分．
故eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(OG,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OG,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)[eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))]＋eq \f(1,2)[eq \f(1,2)(eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))]
＝eq \f(1,4)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))．
思维升华 (1)证明空间三点P，A，B共线的方法
①eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))(λ∈R)；
②对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))(t∈R)；
③对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．
(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法
①eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))；
②对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))；
③对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))＋zeq \(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；
④eq \(PM,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))(或eq \(PA,\s\up6(→))∥eq \(MB,\s\up6(→))或eq \(PB,\s\up6(→))∥eq \(AM,\s\up6(→)))．
已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))．
(1)判断eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
解 (1)由题意知eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(OM,\s\up6(→))，
∴eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝(eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＋(eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))
即eq \(MA,\s\up6(→))＝eq \(BM,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝－eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))，
∴eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面．
(2)由(1)知eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面且基线过同一点M，
∴M，A，B，C四点共面．
从而点M在平面ABC内．
题型三 空间向量数量积的应用
例3 (2017·济南月考)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段AC1的长；
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
(3)求证：AA1⊥BD.
(1)解 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cs 120°＝－1.
∵eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，
∴|eq \(AC1,\s\up6(→))|＝|a＋b＋c|
＝eq \r(a＋b＋c2)
＝eq \r(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋b·c＋c·a)
＝eq \r(12＋12＋22＋20－1－1)＝eq \r(2).
∴线段AC1的长为eq \r(2).
(2)解 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，
则cs θ＝|cs〈eq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(A1D,\s\up6(→))〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC1,\s\up6(→))·\(A1D,\s\up6(→)),|\(AC1,\s\up6(→))||\(A1D,\s\up6(→))|))).
∵eq \(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq \(A1D,\s\up6(→))＝b－c，
∴eq \(AC1,\s\up6(→))·eq \(A1D,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，
|eq \(A1D,\s\up6(→))|＝eq \r(b－c2)＝eq \r(|b|2－2b·c＋|c|2)
＝eq \r(12－2×－1＋22)＝eq \r(7).
∴cs θ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC1,\s\up6(→))·\(A1D,\s\up6(→)),|\(AC1,\s\up6(→))||\(A1D,\s\up6(→)))))＝|eq \f(－2,\r(2)×\r(7))|＝eq \f(\r(14),7).
故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为eq \f(\r(14),7).
(3)证明 ∵eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，eq \(BD,\s\up6(→))＝b－a，
∴eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，
∴eq \(AA1,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，∴AA1⊥BD.
思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；
(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角；
(3)可以通过|a|＝eq \r(a2)，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．
如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
(1)求eq \(AC1,\s\up6(→))的长；
(2)求eq \(BD1,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))夹角的余弦值．
解 (1)记eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝eq \f(1,2).
|eq \(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,2))＝6，
∴|eq \(AC1,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，即AC1的长为eq \r(6).
(2)eq \(BD1,\s\up6(→))＝b＋c－a，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，
∴|eq \(BD1,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，
eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
∴cs〈eq \(BD1,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BD1,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(BD1,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(6),6).
即eq \(BD1,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))夹角的余弦值为eq \f(\r(6),6).
18．坐标法在立体几何中的应用
典例 (12分)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
(1)求eq \(BN,\s\up6(→))的模；
(2)求cs〈eq \(BA1,\s\up6(→))，eq \(CB1,\s\up6(→))〉的值；
(3)求证：A1B⊥C1M.
思想方法指导 利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解．
规范解答
(1)解 如图，建立空间直角坐标系．
依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
所以|eq \(BN,\s\up6(→))|＝eq \r(1－02＋0－12＋1－02)＝eq \r(3).[2分]
(2)解 依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0，1,2)．
所以eq \(BA1,\s\up6(→))＝(1，－1,2)，eq \(CB1,\s\up6(→))＝(0,1,2)，
eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(CB1,\s\up6(→))＝3，|eq \(BA1,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，|eq \(CB1,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，
所以cs〈eq \(BA1,\s\up6(→))，eq \(CB1,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BA1,\s\up6(→))·\(CB1,\s\up6(→)),|\(BA1,\s\up6(→))||\(CB1,\s\up6(→))|)
＝eq \f(\r(30),10).[6分]
(3)证明 依题意得C1(0,0,2)，M(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，2)，
eq \(A1B,\s\up6(→))＝(－1,1，－2)，
eq \(C1M,\s\up6(→))＝(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，0)．[9分]
所以eq \(A1B,\s\up6(→))·eq \(C1M,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＋0＝0，
所以eq \(A1B,\s\up6(→))⊥eq \(C1M,\s\up6(→))，即A1B⊥C1M.[12分]
1．在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 A
解析 a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.
2．(2017·郑州调研)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ等于( )
A．9 B．－9 C．－3 D．3
答案 B
解析 由题意知c＝xa＋yb，
即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝7，,x＋2y＝6，,－3x＋3y＝λ，))解得λ＝－9.
3．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( )
A．－2 B．－eq \f(14,3)C.eq \f(14,5)D．2
答案 D
解析 由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，
所以14－7λ＝0，解得λ＝2.
4.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A.eq \r(3)B.eq \r(2)C．1 D.eq \r(3－\r(2))
答案 D
解析 ∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))，
∴|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝|eq \(BF,\s\up6(→))|2＋|eq \(FE,\s\up6(→))|2＋|eq \(ED,\s\up6(→))|2＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(FE,\s\up6(→))＋2eq \(FE,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))
＝1＋1＋1－eq \r(2)＝3－eq \r(2)，
故|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(3－\r(2)).
5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则异面直线a，b所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 如图，设eq \(AC,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，eq \(DB,\s\up6(→))＝c，则eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b＋c，
所以cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝eq \f(a＋b＋c·b,|a＋b＋c||b|)＝eq \f(1,2)，
所以异面直线a，b所成的角等于60°，
故选C.
6．(2016·深圳模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MC1,\s\up6(→))，N为B1B的中点，则|eq \(MN,\s\up6(→))|为( )
A.eq \f(\r(21),6)aB.eq \f(\r(6),6)a
C.eq \f(\r(15),6)aD.eq \f(\r(15),3)a
答案 A
解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a，0,0)，C1(0，a，a)，N(a，a，eq \f(a,2))．
设M(x，y，z)，
∵点M在AC1上且eq \(AM,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(MC1,\s\up6(→))，
∴(x－a，y，z)＝eq \f(1,2)(－x，a－y，a－z)，
∴x＝eq \f(2,3)a，y＝eq \f(a,3)，z＝eq \f(a,3).
∴M(eq \f(2a,3)，eq \f(a,3)，eq \f(a,3))，
∴|eq \(MN,\s\up6(→))|＝eq \r(a－\f(2,3)a2＋a－\f(a,3)2＋\f(a,2)－\f(a,3)2)
＝eq \f(\r(21),6)a.
7．A，B，C，D是空间不共面四点，且eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，则△BCD的形状是________三角形．(填锐角、直角、钝角中的一个)
答案 锐角
解析 因为eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))2
＝eq \(AB,\s\up6(→))2>0，
所以∠CBD为锐角．
同理∠BCD，∠BDC均为锐角．
8．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若eq \(OG,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，则x，y，z的值分别为______________．
答案 eq \f(1,4)，eq \f(1,4)，eq \f(1,4)
解析 如图所示，取BC的中点E，连接AE.
eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OG1,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AG1,\s\up6(→)))
＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))
＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,4)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，
∴x＝y＝z＝eq \f(1,4).
9．(2016·合肥模拟)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________.
答案 (3，－2,2)
解析 因为a∥b，所以eq \f(x,－2)＝eq \f(4,y)＝eq \f(1,－1)，
解得x＝2，y＝－4，
此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，
又因为b⊥c，所以b·c＝0，
即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．
10．(2016·天津模拟)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，
①(eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(→)))2＝3eq \(A1B1,\s\up6(→))2；
②eq \(A1C,\s\up6(→))·(eq \(A1B1,\s\up6(→))－eq \(A1A,\s\up6(→)))＝0；
③向量eq \(AD1,\s\up6(→))与向量eq \(A1B,\s\up6(→))的夹角是60°；
④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))|.
其中正确的序号是________．
答案 ①②
解析 ①中，(eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(→)))2＝eq \(A1A,\s\up6(→))2＋eq \(A1D1,\s\up6(→))2＋eq \(A1B1,\s\up6(→))2＝3eq \(A1B1,\s\up6(→))2，故①正确；②中，eq \(A1B1,\s\up6(→))－eq \(A1A,\s\up6(→))＝eq \(AB1,\s\up6(→))，因为AB1⊥A1C，故②正确；③中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但eq \(AD1,\s\up6(→))与eq \(A1B,\s\up6(→))的夹角为120°，故③不正确；④中，|eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))|＝0，故④也不正确．
*11.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
以上正确说法的个数为________．
答案 3
解析 eq \(A1M,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(D1P,\s\up6(→))＝eq \(D1D,\s\up6(→))＋eq \(DP,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(A1M,\s\up6(→))∥eq \(D1P,\s\up6(→))，
∴A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，
A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.
①③④正确．
12.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))；(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))；
(3)EG的长；
(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．
解 (1)设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)c－eq \f(1,2)a，eq \(BA,\s\up6(→))＝－a，eq \(DC,\s\up6(→))＝b－c.
eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－\f(1,2)a))·(－a)
＝eq \f(1,2)a2－eq \f(1,2)a·c＝eq \f(1,4).
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(c－a)·(b－c)
＝eq \f(1,2)(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－eq \f(1,4).
(3)eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋b－a＋eq \f(1,2)c－eq \f(1,2)b
＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，
|eq \(EG,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,4)a2＋eq \f(1,4)b2＋eq \f(1,4)c2－eq \f(1,2)a·b＋eq \f(1,2)b·c－eq \f(1,2)c·a＝eq \f(1,2)，则|eq \(EG,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(2),2).
(4)eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝－b＋eq \f(1,2)a，
cs〈eq \(AG,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AG,\s\up6(→))·\(CE,\s\up6(→)),|\(AG,\s\up6(→))||\(CE,\s\up6(→))|)＝－eq \f(2,3)，
由于异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为eq \f(2,3).
*13.(2016·沈阳模拟)如图，在直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
(1)证明 设eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，eq \(CC′,\s\up6(→))＝c，
根据题意得，|a|＝|b|＝|c|，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴eq \(CE,\s\up6(→))＝b＋eq \f(1,2)c，eq \(A′D,\s\up6(→))＝－c＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a.
∴eq \(CE,\s\up6(→))·eq \(A′D,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)c2＋eq \f(1,2)b2＝0.
∴eq \(CE,\s\up6(→))⊥eq \(A′D,\s\up6(→))，即CE⊥A′D.
(2)解 ∵eq \(AC′,\s\up6(→))＝－a＋c，|eq \(AC′,\s\up6(→))|＝eq \r(2)|a|，|eq \(CE,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(5),2)|a|.
eq \(AC′,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝(－a＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)c))＝eq \f(1,2)c2＝eq \f(1,2)|a|2，
∴cs〈eq \(AC′,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\f(1,2)|a|2,\r(2)·\f(\r(5),2)|a|2)＝eq \f(\r(10),10).
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10).
14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，eq \(AA1,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，点M，N分别是A1D，B1D1的中点．
(1)试用a，b，c表示eq \(MN,\s\up6(→))；
(2)求证：MN∥平面ABB1A1.
(1)解 ∵eq \(A1D,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(→))＝c－a，
∴eq \(A1M,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(A1D,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(c－a)．
同理，eq \(A1N,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(b＋c)，
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(A1N,\s\up6(→))－eq \(A1M,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(b＋c)－eq \f(1,2)(c－a)＝eq \f(1,2)(b＋a)＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.
(2)证明 ∵eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB1,\s\up6(→))，即MN∥AB1，
∵AB1⊂平面ABB1A1，MN⊄平面ABB1A1，
∴MN∥平面ABB1A1.
名称
概念
表示
零向量
模为0的向量
0
单位向量
长度(模)为1的向量
相等向量
方向相同且模相等的向量
a＝b
相反向量
方向相反且模相等的向量
a的相反向量为－a
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
a∥b
共面向量
平行于同一个平面的向量
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))