高三数学一轮复习： 选修4-4 第2节 课时分层训练68

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(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
[解] (1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.2分
由eq \r(2)ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝m，得ρsin θ－ρcs θ－m＝0，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.4分
(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，8分
即eq \f(|1－－2＋m|,\r(2))＝2，
解得m＝－3±2eq \r(2).10分
2．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝\r(3)t))(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cs θ.
【导学号：01772443】
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|.
[解] (1)由ρsin2θ＝8cs θ，得ρ2sin2θ＝8ρcs θ，
故曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.4分
(2)将直线l的方程化为标准形式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t.))6分
代入y2＝8x，并整理得3t2－16t－64＝0，t1＋t2＝eq \f(16,3)，t1t2＝－eq \f(64,3).8分
所以|AB|＝|t1－t2|＝eq \r(t1＋t22－4t1t2)＝eq \f(32,3).10分
3．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝eq \r(10)，求l的斜率．
[解] (1)由x＝ρcs θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcs θ＋11＝0.4分
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcs α＋11＝0，
于是ρ1＋ρ2＝－12cs α，ρ1ρ2＝11.8分
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝eq \r(ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2)
＝eq \r(144cs2α－44).
由|AB|＝eq \r(10)得cs2α＝eq \f(3,8)，tan α＝±eq \f(\r(15),3).
所以l的斜率为eq \f(\r(15),3)或－eq \f(\r(15),3).10分
4．(2014·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cs θ，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝eq \r(3)x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
[解] (1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs t，,y＝sin t))(t为参数，0≤t≤π).4分
(2)设D(1＋cs t，sin t)，由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线CD与l的斜率相同，tan t＝eq \r(3)，t＝eq \f(π,3).8分
故D的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋cs \f(π,3)，sin \f(π,3)))，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2))).10分
5．(2017·湖北七市三联)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝sin α＋cs α，,y＝1＋sin 2α))(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2eq \r(2)acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,4)))(a＞0)．
(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)；
(2)若直线l与C2相切，求a的值．
[解] (1)曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－eq \r(2)，eq \r(2)]，直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x2，,x＋y＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝4))(舍去)．
故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1,1)，其极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4))).4分
(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，即
(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a＞0).8分
由直线l与C2相切，得eq \f(|－a＋a－2|,\r(2))＝eq \r(2)a，故a＝1.10分
6．(2017·福州质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs α，,y＝sin α))(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(2).
(1)求C的普通方程和l的倾斜角；
(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.
[解] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs α，,y＝sin α))消去参数α，得eq \f(x2,9)＋y2＝1，
即C的普通方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1.2分
由ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(2)，得ρsin θ－ρcs θ＝2，(*)
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入(*)，化简得y＝x＋2，
所以直线l的倾斜角为eq \f(π,4).4分
(2)由(1)知，点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs\f(π,4)，,y＝2＋tsin\f(π,4)))(t为参数)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)t，,y＝2＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，
代入eq \f(x2,9)＋y2＝1并化简，得5t2＋18eq \r(2)t＋27＝0，
Δ＝(18eq \r(2))2－4×5×27＝108＞0，8分
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－eq \f(18\r(2),5)＜0，t1t2＝eq \f(27,5)＞0，所以t1＜0，t2＜0，
所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝eq \f(18\r(2),5).10分