高考数学一轮复习讲义第2章第3节函数的奇偶性与周期性

这是一份高考数学一轮复习讲义第2章第3节函数的奇偶性与周期性，共13页。学案主要包含了知识拓展，思考辨析等内容，欢迎下载使用。

1．函数的奇偶性
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【知识拓展】
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( √ )
(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( √ )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ )
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( √ )
1．(教材改编)下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－xD．f(x)＝2x＋2－x
答案 D
解析 D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
2．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋eq \f(1,x)，则f(－1)等于( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
答案 A
解析 f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.
3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 B
解析 ∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0.
4．(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则当x