高考数学一轮复习讲义第9章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系

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这是一份高考数学一轮复习讲义第9章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系，共14页。学案主要包含了知识拓展，思考辨析等内容，欢迎下载使用。

1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．
dr⇔相离．
(2)代数法：eq \(――→,\s\up7(判别式),\s\d5(Δ＝b2－4ac))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(>0⇔相交；,＝0⇔相切；,<0⇔相离.))
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \\al(2,1)(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2>0).
【知识拓展】
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( √ )
(5)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( √ )
1．(教材改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )
A．相切B．相交但直线不过圆心
C．相交过圆心D．相离
答案 B
解析由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝eq \f(|2×1－2－5|,\r(22＋1))＝eq \r(5)所以直线与圆相交但不过圆心．
2．(2016·全国甲卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a等于( )
A．－eq \f(4,3)B．－eq \f(3,4)C.eq \r(3)D．2
答案 A
解析由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d＝eq \f(|1×a＋4－1|,\r(1＋a2))＝1，解之得a＝－eq \f(4,3).
3．(2016·西安模拟)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 C
解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为eq \r(2)，
∴eq \f(|a－0＋1|,\r(12＋－12))≤eq \r(2)，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
4．(2016·黑龙江大庆实验中学检测)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．6－2eq \r(2)B．5eq \r(2)－4
C.eq \r(17)－1D.eq \r(17)
答案 B
解析圆C1关于x轴对称的圆C1′的圆心为C1′(2，－3)，半径不变，圆C2的圆心为(3,4)，半径r＝3，|PM|＋|PN|的最小值为圆C1′和圆C2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM|＋|PN|的最小值为eq \r(3－22＋4＋32)－1－3＝5eq \r(2)－4.
5．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为________．
答案 eq \f(9,4)
解析由两圆外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，
即(a＋b)2＝(2＋1)2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，
所以ab≤eq \f(9,4)，当且仅当a＝b时取等号，
即ab的最大值是eq \f(9,4).
题型一直线与圆的位置关系的判断
例1 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切B．相交
C．相离D．不确定
(2)(2016·江西吉安月考)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( )
A．相离B．相切
C．相交D．以上都有可能
答案 (1)B (2)C
解析 (1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝eq \f(|a·0＋b·0－1|,\r(a2＋b2))＝eq \f(1,\r(a2＋b2))<1.
所以直线与圆相交．
(2)直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，
∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，
∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内．
直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交，
故选C.
思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
已知方程x2＋eq \f(x,tanθ)－eq \f(1,sinθ)＝0有两个不等实根a和b，那么过点A(a，a2)，B(b，b2)的直线与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．
答案相切
解析由题意可知过A，B两点的直线方程为(a＋b)x－y－ab＝0，圆心到直线AB的距离d＝eq \f(|－ab|,\r(a＋b2＋1))，而a＋b＝－eq \f(1,tanθ)，ab＝－eq \f(1,sinθ)，因此d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,sinθ))),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,tanθ)))2＋1))，化简后得d＝1，故直线与圆相切．
题型二圆与圆的位置关系
例2 (1)(2016·山东)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切B．相交C．外切D．相离
(2)(2017·重庆调研)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．
答案 (1)B (2)(－2eq \r(2)，0)∪(0,2eq \r(2))
解析 (1)∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，
圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝eq \f(|a|,\r(2))，由几何知识得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|a|,\r(2))))2＋(eq \r(2))2＝a2，解得a＝2.
∴M(0,2)，r1＝2.
又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝eq \r(1－02＋1－22)＝eq \r(2)，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.
∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.
(2)圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.
依题意得0∴a∈(－2eq \r(2)，0)∪(0,2eq \r(2))．
思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切；
(2)m取何值时两圆内切；
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为eq \r(11)和eq \r(61－m).
(1)当两圆外切时，
eq \r(5－12＋6－32)＝eq \r(11)＋eq \r(61－m)，
解得m＝25＋10eq \r(11).
(2)当两圆内切时，因为定圆的半径eq \r(11)小于两圆圆心间距离5，
故只有eq \r(61－m)－eq \r(11)＝5，解得m＝25－10eq \r(11).
(3)两圆的公共弦所在直线方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0，所以公共弦长为
2eq \r(\r(11)2－\f(|4×1＋3×3－23|,\r(42＋32))2)
＝2eq \r(7).
题型三直线与圆的综合问题
命题点1 求弦长问题
例3 (2016·全国丙卷)已知直线l：mx＋y＋3m－eq \r(3)＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则|CD|＝________.
答案 4
解析设AB的中点为M，
由题意知，圆的半径R＝2eq \r(3)，|AB|＝2eq \r(3)，所以|OM|＝3，解得m＝－eq \f(\r(3),3)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－\r(3)y＋6＝0，,x2＋y2＝12))解得A(－3，eq \r(3))，B(0，2eq \r(3))，则AC的直线方程为y－eq \r(3)＝－eq \r(3)(x＋3)，
BD的直线方程为y－2eq \r(3)＝－eq \r(3)x，令y＝0，解得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4.
命题点2 直线与圆相交求参数范围
例4 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解 (1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，所以eq \f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1.
解得eq \f(4－\r(7),3)所以k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得
(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝eq \f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq \f(7,1＋k2).
eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝eq \f(4k1＋k,1＋k2)＋8.
由题设可得eq \f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，
所以l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在l上，所以|MN|＝2.
命题点3 直线与圆相切的问题
例5 已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
解 (1)设切线方程为x＋y＋b＝0，
则eq \f(|1－2＋b|,\r(2))＝eq \r(10)，∴b＝1±2eq \r(5)，
∴切线方程为x＋y＋1±2eq \r(5)＝0.
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则eq \f(|2－2＋m|,\r(5))＝eq \r(10)，∴m＝±5eq \r(2)，
∴切线方程为2x＋y±5eq \r(2)＝0.
(3)∵kAC＝eq \f(－2＋1,1－4)＝eq \f(1,3)，
∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0.
思维升华直线与圆综合问题的常见类型及解题策略
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
(1)(2015·课标全国Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|等于( )
A．2eq \r(6)B．8C．4eq \r(6)D．10
(2)若直线xcsθ＋ysinθ－1＝0与圆(x－1)2＋(y－sinθ)2＝eq \f(1,16)相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是( )
A．－eq \f(\r(3),3)B．－eq \r(3)C.eq \f(\r(3),3)D.eq \r(3)
答案 (1)C (2)A
解析 (1)由已知，得eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－3，－9)，
则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，
所以eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，即AB⊥BC，
故过三点A、B、C的圆以AC为直径，
得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，
令x＝0，得(y＋2)2＝24，
解得y1＝－2－2eq \r(6)，y2＝－2＋2eq \r(6)，
所以|MN|＝|y1－y2|＝4eq \r(6)，选C.
(2)依题意得，圆心到直线的距离等于半径，
即|csθ＋sin2θ－1|＝eq \f(1,4)，|csθ－cs2θ|＝eq \f(1,4)，
所以csθ－cs2θ＝eq \f(1,4)或csθ－cs2θ＝－eq \f(1,4)(不符合题意，舍去)．
由csθ－cs2θ＝eq \f(1,4)，得csθ＝eq \f(1,2)，
又θ为锐角，所以sinθ＝eq \f(\r(3),2)，
故该直线的斜率是－eq \f(csθ,sinθ)＝－eq \f(\r(3),3)，
故选A.
7．高考中与圆交汇问题的求解
考点分析与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．
一、与圆有关的最值问题
典例1 (1)(2015·湖南)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|的最大值为( )
A．6B．7C．8D．9
(2)过点(eq \r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq \r(1－x2)相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )
A.eq \f(\r(3),3)B．－eq \f(\r(3),3)C．±eq \f(\r(3),3)D．－eq \r(3)
解析 (1)∵A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆的直径，故eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PO,\s\up6(→))＝(－4,0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，eq \(PB,\s\up6(→))＝(x－2，y)，∴eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝(x－6，y)．故|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|＝eq \r(－12x＋37)，
∴当x＝－1时有最大值eq \r(49)＝7，故选B.
(2)∵S△AOB＝eq \f(1,2)|OA||OB|sin∠AOB
＝eq \f(1,2)sin∠AOB≤eq \f(1,2).
当∠AOB＝eq \f(π,2)时，
△AOB面积最大．
此时O到AB的距离d＝eq \f(\r(2),2).
设AB方程为y＝k(x－eq \r(2))(k<0)，
即kx－y－eq \r(2)k＝0.由d＝eq \f(|\r(2)k|,\r(k2＋1))＝eq \f(\r(2),2)得k＝－eq \f(\r(3),3).
(也可k＝－tan∠OPH＝－eq \f(\r(3),3))．
答案 (1)B (2)B
二、直线与圆的综合问题
典例2 (1)(2015·重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于( )
A．2B．4eq \r(2)C．6D．2eq \r(10)
(2)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )
A.eq \f(4,5)πB.eq \f(3,4)π
C．(6－2eq \r(5))πD.eq \f(5,4)π
解析 (1)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，
∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．
∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.
∴|AB|＝6.
(2)∵∠AOB＝90°，∴点O在圆C上．
设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，
则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，
∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.
又|OD|＝eq \f(|2×0＋0－4|,\r(5))＝eq \f(4,\r(5))，
∴圆C的最小半径为eq \f(2,\r(5))，
∴圆C面积的最小值为π(eq \f(2,\r(5)))2＝eq \f(4,5)π.
答案 (1)C (2)A
1．(2017·广州调研)若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有( )
A．1条B．2条C．3条D．4条
答案 C
解析如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．
2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于( )
A．21B．19C．9D．－11
答案 C
解析圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.
又∵两圆外切，∴5＝1＋eq \r(25－m)，解得m＝9.
3．(2016·南昌二模)若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为( )
A.eq \r(2)B．2C．4D．2eq \r(2)
答案 B
解析圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)．
化为(x－a)2＋y2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.
圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化为x2＋(y＋b)2＝1，圆心坐标为(0，－b)，半径为1，
∵圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，
∴eq \r(a2＋b2)＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤eq \f(1,2)(a2＋b2)＝2.
∴ab的最大值为2.
4．(2016·泰安模拟)过点P(3,1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0
答案 A
解析如图所示：由题意知：AB⊥PC，kPC＝eq \f(1,2)，∴kAB＝－2，∴直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.
5．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交B．相切
C．相离D．不确定
答案 A
解析因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为eq \r(2)，因为直线l与圆C相切．所以eq \f(|－2k－1＋1|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，解得k＝±1，因为k<0，所以k＝－1，所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2,0)到直线l的距离d＝eq \f(|2＋0－1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)6．已知A(－2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆x2＋y2＋kx＝0上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0对称，那么△PAB面积的最大值是( )
A．3－eq \r(2)B．4
C．3＋eq \r(2)D．6
答案 C
解析依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心(－eq \f(k,2)，0)位于直线x－y－1＝0上，
于是有－eq \f(k,2)－1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.
由题意可得|AB|＝2eq \r(2)，直线AB的方程是eq \f(x,－2)＋eq \f(y,2)＝1，
即x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离等于eq \f(|1－0＋2|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)，
点P到直线AB的距离的最大值是eq \f(3\r(2),2)＋1，
∴△PAB面积的最大值为eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \f(3\r(2)＋2,2)＝3＋eq \r(2)，故选C.
7．(2016·全国乙卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则圆C的面积为________．
答案 4π
解析圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，C到直线y＝x＋2a的距离d＝eq \f(|0－a＋2a|,\r(2))＝eq \f(|a|,\r(2)).又由|AB|＝2eq \r(3)，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|a|,\r(2))))2＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.
8．(2016·天津四校联考)过点(1，eq \r(2))的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 ∵(1－2)2＋(eq \r(2))2＝3<4，
∴点(1，eq \r(2))在圆(x－2)2＋y2＝4的内部．
当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2,0)与点(1，eq \r(2))的连线垂直于直线l.
∵eq \f(\r(2)－0,1－2)＝－eq \r(2)，∴所求直线l的斜率k＝eq \f(\r(2),2).
9．(2015·山东)过点P(1，eq \r(3))作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝________.
答案 eq \f(3,2)
解析由题意，圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示，
∵P(1，eq \r(3))，∴PB⊥x轴，|PA|＝|PB|＝eq \r(3).
∴△POA为直角三角形，其中|OA|＝1，|AP|＝eq \r(3)，
则|OP|＝2，
∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝|eq \(PA,\s\up6(→))||eq \(PB,\s\up6(→))|·cs∠APB＝eq \r(3)×eq \r(3)×cs60°＝eq \f(3,2).
10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
答案 eq \f(4,3)
解析圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．
由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，
即eq \f(|4k－2|,\r(k2＋1))≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤eq \f(4,3).
故k的最大值是eq \f(4,3).
11．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.
(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；
(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．
解把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.
(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，
C到l的距离d＝2＝r，满足条件．
当l的斜率存在时，设斜率为k，
得l的方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y＋3－k＝0，
则eq \f(|－k－2＋3－k|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝－eq \f(3,4).
∴l的方程为y－3＝－eq \f(3,4)(x－1)，
即3x＋4y－15＝0.
综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.
(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2
＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，
|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|，
∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，
整理，得2x－4y＋1＝0，
∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.
12．设M＝{(x，y)|y＝eq \r(2a2－x2)，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－eq \r(3))2＝a2，a>0}，且M∩N≠∅，求a的最大值和最小值．
解 M＝{(x，y)|y＝eq \r(2a2－x2)，a>0}，即{(x，y)|x2＋y2＝2a2，y≥0}，
表示以原点O为圆心，半径等于eq \r(2)a的半圆(位于横轴或横轴以上的部分)．
N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－eq \r(3))2＝a2，a>0}，
表示以O′(1，eq \r(3))为圆心，半径等于a的一个圆．
再由M∩N≠∅，可得半圆和圆有交点，
故半圆和圆相交或相切．
当半圆和圆相外切时，由|OO′|＝2＝eq \r(2)a＋a，
求得a＝2eq \r(2)－2；
当半圆和圆相内切时，由|OO′|＝2＝eq \r(2)a－a，
求得a＝2eq \r(2)＋2，
故a的取值范围是[2eq \r(2)－2,2eq \r(2)＋2]，
a的最大值为2eq \r(2)＋2，最小值为2eq \r(2)－2.
*13.(2016·湖南六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)设圆心C(a,0)(a>－eq \f(5,2))，
则eq \f(|4a＋10|,5)＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝4，,y＝kx－1，))得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝eq \f(2k2,k2＋1)，x1x2＝eq \f(k2－4,k2＋1).
若x轴平分∠ANB，
则kAN＝－kBN⇒eq \f(y1,x1－t)＋eq \f(y2,x2－t)＝0
⇒eq \f(kx1－1,x1－t)＋eq \f(kx2－1,x2－t)＝0
⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0
⇒eq \f(2k2－4,k2＋1)－eq \f(2k2t＋1,k2＋1)＋2t＝0⇒t＝4，
所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解

高考数学一轮复习讲义第9章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系

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