高考数学一轮复习讲义第4章第4节形如y=Asin(wx+)函数图像及其应用

这是一份高考数学一轮复习讲义第4章第4节形如y=Asin(wx+)函数图像及其应用，共18页。学案主要包含了知识拓展，思考辨析等内容，欢迎下载使用。

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下：
【知识拓展】
1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象是由y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq \f(π,2)个单位得到的．( √ )
(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．( × )
(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × )
(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝eq \f(2π,ω).( × )
(5)把y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，所得图象对应的函数解析式为y＝sin eq \f(1,2)x.( × )
(6)若函数y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为eq \f(T,2).( √ )
1．(教材改编)y＝2sin(eq \f(1,2)x－eq \f(π,3))的振幅，频率和初相分别为( )
A．2,4π，eq \f(π,3)B．2，eq \f(1,4π)，eq \f(π,3)
C．2，eq \f(1,4π)，－eq \f(π,3)D．2,4π，－eq \f(π,3)
答案 C
解析 由题意知A＝2，f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)＝eq \f(1,4π)，初相为－eq \f(π,3).
2．(2015·山东)要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,12)个单位B．向右平移eq \f(π,12)个单位
C．向左平移eq \f(π,3)个单位D．向右平移eq \f(π,3)个单位
答案 B
解析 ∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))，
∴要得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移eq \f(π,12)个单位．
3．(2016·青岛模拟)将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动eq \f(π,10)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sin(2x－eq \f(π,10)) B．y＝sin(2x－eq \f(π,5))
C．y＝sin(eq \f(1,2)x－eq \f(π,10)) D．y＝sin(eq \f(1,2)x－eq \f(π,20))
答案 C
解析 y＝sin x
y＝sin(x－eq \f(π,10))eq \(―――――→,\s\up7(横坐标伸长到),\s\d5(原来的2倍))y＝sin(eq \f(1,2)x－eq \f(π,10))．
4．(2016·临沂模拟)已知函数f(x)＝Acs(ωx＋θ)的图象如图所示，f(eq \f(π,2))＝－eq \f(2,3)，则f(－eq \f(π,6))＝________.
答案 －eq \f(2,3)
解析 由题图知，函数f(x)的周期
T＝2(eq \f(11π,12)－eq \f(7π,12))＝eq \f(2π,3)，
所以f(－eq \f(π,6))＝f(－eq \f(π,6)＋eq \f(2π,3))＝f(eq \f(π,2))＝－eq \f(2,3).
5．若将函数f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,4))的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
答案 eq \f(3π,8)
解析 ∵函数f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,4))的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋eq \f(π,4)]＝sin(2x＋eq \f(π,4)－2φ)，
又∵g(x)是偶函数，∴eq \f(π,4)－2φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
∴φ＝－eq \f(kπ,2)－eq \f(π,8)(k∈Z)．
当k＝－1时，φ取得最小正值eq \f(3π,8).
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 (2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0))，求θ的最小值．
解 (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－eq \f(π,6).数据补全如下表：
且函数解析式为f(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).
(2)由(1)知f(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
得g(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2θ－\f(π,6))).
因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋2θ－eq \f(π,6)＝kπ，解得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0))成中心对称，
所以令eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)－θ＝eq \f(5π,12)，解得θ＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,3)，k∈Z.
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值eq \f(π,6).
引申探究
在本例(2)中，将f(x)图象上所有点向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)图象的对称中心．
解 由(1)知f(x)＝5sin(2x－eq \f(π,6))，
因此g(x)＝5sin[2(x＋eq \f(π,6))－eq \f(π,6)]＝5sin(2x＋eq \f(π,6))．
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)，k∈Z.
即y＝g(x)图象的对称中心为(eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)，0)，k∈Z.
思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3,2)π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
(2)图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移eq \f(π,4)个单位，得到的函数图象的解析式是( )
A．y＝cs 2xB．y＝－sin 2x
C．y＝sin(2x－eq \f(π,4)) D．y＝sin(2x＋eq \f(π,4))
答案 A
解析 由y＝sin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y＝sin 2x，再向左平移eq \f(π,4)个单位得y＝sin2(x＋eq \f(π,4))，即y＝cs 2x.
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|0)的图象的一部分如图所示．
(1)求f(x)的表达式；
(2)试写出f(x)的对称轴方程．
解 (1)观察图象可知A＝2且点(0,1)在图象上，
∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝eq \f(1,2).
∵|φ|0，ω>0)解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，B＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ，常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝eq \f(π,2)；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝eq \f(3π,2)；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
(2016·太原模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|