高考数学一轮复习讲义第8章第3节空间点、线、面及其位置关系

这是一份高考数学一轮复习讲义第8章第3节空间点、线、面及其位置关系，共16页。学案主要包含了知识拓展，思考辨析等内容，欢迎下载使用。


1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行直线,相交直线)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【知识拓展】
1．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2．异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.( √ )
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( × )
(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( × )
(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．( √ )
(5)没有公共点的两条直线是异面直线．( × )
1．下列命题正确的个数为( )
①梯形可以确定一个平面；
②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0B．1C．2D．3
答案 C
解析 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．
2．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥lB．m∥n
C．n⊥lD．m⊥n
答案 C
解析 由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确．
3．(2017·合肥质检)已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l
D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
答案 C
解析 m，n可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；根据线面平行的性质可知C正确；若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.
4.(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝2eq \r(3)，AD＝2eq \r(3)，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．
答案 45° 60°
解析 ∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝eq \f(EF,FG)＝eq \f(2\r(3),2\r(3))＝1，∴∠EGF＝45°，
∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF，tan∠GBF＝eq \f(GF,BF)＝eq \f(2\r(3),2)＝eq \r(3)，∴∠GBF＝60°.
5．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
答案 4
解析 EF与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF相交的侧面有4个.
题型一 平面基本性质的应用
例1 (1)(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.
(2)已知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝eq \f(1,3)BC，CH＝eq \f(1,3)DC.求证：
①E、F、G、H四点共面；
②三直线FH、EG、AC共点．
证明 ①连接EF、GH，如图所示，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF∥BD.
又∵CG＝eq \f(1,3)BC，CH＝eq \f(1,3)DC，
∴GH∥BD，∴EF∥GH，
∴E、F、G、H四点共面．
②易知FH与直线AC不平行，但共面，
∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.
又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，
∴M∈EG，∴FH、EG、AC共点．
思维升华 共面、共线、共点问题的证明
(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq \f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq \f(1,2)AF，G、H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綊eq \f(1,2)AD.
又BC綊eq \f(1,2)AD，∴GH綊BC.
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解 ∵BE綊eq \f(1,2)AF，G是FA的中点，∴BE綊FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．
题型二 判断空间两直线的位置关系
例2 (1)(2015·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是( )
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
(3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
答案 (1)D (2)D (3)②④
解析 (1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．
(2)连接B1C，B1D1，如图所示，
则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，
又BD∥B1D1，∴MN∥BD.
∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，
∴MN⊥CC1，MN⊥AC.
又∵A1B1与B1D1相交，
∴MN与A1B1不平行，故选D.
(3)图①中，直线GH∥MN；
图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，
因此直线GH与MN异面；
图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，
因此GH与MN异面．
所以图②④中GH与MN异面．
思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．
(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为( )
A．0B．1C．2D．3
(2)(2016·南昌一模)已知a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，则下列命题中正确的是( )
A．a与b异面，b与c异面⇒a与c异面
B．a与b相交，b与c相交⇒a与c相交
C．α∥β，β∥γ⇒α∥γ
D．a⊂α，b⊂β，α与β相交⇒a与b相交
答案 (1)B (2)C
解析 (1)在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．
(2)如图(1)，在正方体中，a、b、c是三条棱所在直线，满足a与b异面，b与c异面，但a∩c＝A，故A错误；在图(2)的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错误；如图(3)，α∩β＝c，a∥c，则a与b不相交，故D错误．
题型三 求两条异面直线所成的角
例3 (2016·重庆模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．
答案 eq \f(π,3)
解析 如图，将原图补成正方体ABCD－QGHP，连接GP，则GP∥BD，
所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，
在△AGP中，AG＝GP＝AP，
所以∠APG＝eq \f(π,3).
引申探究
在本例条件下，若E，F，M分别是AB，BC，PQ的中点，异面直线EM与AF所成的角为θ，求csθ的值．
解 设N为BF的中点，连接EN，MN，
则∠MEN是异面直线EM与AF所成的角或其补角．
不妨设正方形ABCD和ADPQ的边长为4，
则EN＝eq \r(5)，EM＝2eq \r(6)，MN＝eq \r(33).
在△MEN中，由余弦定理得
cs∠MEN＝eq \f(EM2＋EN2－MN2,2EM·EN)
＝eq \f(24＋5－33,2×2\r(6)×\r(5))
＝－eq \f(1,\r(30))＝－eq \f(\r(30),30).
即csθ＝eq \f(\r(30),30).
思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三步法
(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；
(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,6)B.eq \f(\r(3),6)C.eq \f(1,3)D.eq \f(\r(3),3)
答案 B
解析 画出正四面体ABCD的直观图，如图所示．
设其棱长为2，取AD的中点F，
连接EF，
设EF的中点为O，连接CO，
则EF∥BD，
则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角．
△ABC为等边三角形，
则CE⊥AB，
易得CE＝eq \r(3)，
同理可得CF＝eq \r(3)，
故CE＝CF.
因为OE＝OF，所以CO⊥EF.
又EO＝eq \f(1,2)EF＝eq \f(1,4)BD＝eq \f(1,2)，
所以cs∠FEC＝eq \f(EO,CE)＝eq \f(\f(1,2),\r(3))＝eq \f(\r(3),6).
16．构造模型判断空间线面位置关系
典例 已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.
其中所有正确的命题是________．
思想方法指导 本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误．对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．
解析 借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α、β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．
答案 ①④
1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则“α∥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若a⊂α，b⊥β，α∥β，则由α∥β，b⊥β⇒b⊥α，
又a⊂α，所以a⊥b；若a⊥b，a⊂α，b⊥β，
则b⊥α或b∥α或b⊂α，此时α∥β或α与β相交，
所以“α∥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.
2．(2016·福州质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线( )
A．不存在B．有且只有两条
C．有且只有三条D．有无数条
答案 D
解析 在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1、EF、BC分别有交点P、M、N，如图，故有无数条直线与直线A1B1、EF、BC都相交．
3．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( )
A．平行B．相交
C．垂直D．互为异面直线
答案 C
解析 不论l∥α，l⊂α，还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l.
4．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则( )
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在AC上，也可能在BD上
D．M既不在AC上，也不在BD上
答案 A
解析 由于EF∩HG＝M，且EF⊂平面ABC，
HG⊂平面ACD，所以点M为平面ABC与平面ACD的一个公共点，而这两个平面的交线为AC，
所以点M一定在直线AC上，故选A.
5．四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为eq \r(5)，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为( )
A.eq \f(2\r(5),5)B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(4,5)D.eq \f(3,5)
答案 B
解析 因为四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为∠PAB.
在△PAB内，PB＝PA＝eq \r(5)，AB＝2，利用余弦定理可知cs∠PAB＝eq \f(PA2＋AB2－PB2,2×PA×AB)＝eq \f(5＋4－5,2×\r(5)×2)＝eq \f(\r(5),5)，故选B.
6．下列命题中，正确的是( )
A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线
B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面
C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行
D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条
答案 D
解析 对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．
对于B，设a，b确定的平面为α，显然a⊂α，故B错误．
对于C，当a⊂α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．易知D正确．故选D.
7．(2016·南昌高三期末)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形．∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝eq \r(2)，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值为________．
答案 5eq \r(2)
解析 连接A1B，将△A1BC1与△CBC1同时展平形成一个平面四边形A1BCC1，则此时对角线CP＋PA1＝A1C达到最小，在等腰直角三角形△BCC1中，BC1＝2，∠CC1B＝45°，在△A1BC1中，A1B＝eq \r(40)＝2eq \r(10)，A1C1＝6，BC1＝2，∴A1Ceq \\al(2,1)＋BCeq \\al(2,1)＝A1B2，即∠A1C1B＝90°.对于展开形成的四边形A1BCC1，在△A1C1C中，C1C＝eq \r(2)，A1C1＝6，∠A1C1C＝135°，由余弦定理有，CP＋PA1＝A1C＝eq \r(2＋36－12\r(2)cs135°)＝eq \r(50)＝5eq \r(2).
8.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
答案 ②③④
解析 把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.
9．(2015·浙江)如图，三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．
答案 eq \f(7,8)
解析 如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.
∵M为AD的中点，
∴MK∥AN，
∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．
∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，
N为BC的中点，
由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2eq \r(2)，
∴MK＝eq \r(2).
在Rt△CKN中，CK＝eq \r(\r(2)2＋12)＝eq \r(3).
在△CKM中，由余弦定理，得
cs∠KMC＝eq \f(CM2＋MK2－CK2,2CM×MK)
＝eq \f(2\r(2)2＋\r(2)2－\r(3)2,2×2\r(2)×\r(2))＝eq \f(7,8).
*10.(2017·郑州质检)如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是________．
①BM是定值；
②点M在某个球面上运动；
③存在某个位置，使DE⊥A1C；
④存在某个位置，使MB∥平面A1DE.
答案 ③
解析 取DC中点F，连接MF，BF，MF∥A1D且MF＝eq \f(1,2)A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cs∠MFB是定值，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得①②正确；由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；A1C在平面ABCD中的投影与AC重合，AC与DE不垂直，可得③不正确．
11.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．
证明 如图，连接BD，B1D1，
则BD∩AC＝O，
∵BB1綊DD1，
∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，
B1D⊂平面BB1D1D，
则H∈平面BB1D1D，
∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.
即D1、H、O三点共线．
12.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝eq \r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
解 如图所示，取AC的中点F，连接EF，BF，
在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF∥CD.
∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角．
在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)，
∴BE＝eq \f(\r(5),2).
在Rt△EAF中，AF＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)，AE＝eq \f(1,2)，
∴EF＝eq \f(\r(2),2).
在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝eq \f(1,2)，∴BF＝eq \f(\r(5),2).
在等腰三角形EBF中，cs∠FEB＝eq \f(\f(1,2)EF,BE)＝eq \f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(10),10).
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10).
*13.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D、B、F、E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
证明 (1)如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，
所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，
所以EF∥BD.
所以EF，BD确定一个平面．
即D、B、F、E四点共面．
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
设平面A1ACC1确定的平面为α，
又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
又Q∈EF，所以Q∈β.
则Q是α与β的公共点，
同理，P点也是α与β的公共点．
所以α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，
所以R∈A1C，则R∈α且R∈β.
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．