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高考数学一轮复习讲义第14章第2节第1课时不等式选讲

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这是一份高考数学一轮复习讲义第14章第2节第1课时不等式选讲，共8页。

1．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
2．含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
1．(2015·山东改编)解不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．
解 ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，
∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.
②当1∴x<4，∴1③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．
综上，原不等式的解集为(－∞，4)．
2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求实数a的取值范围．
解 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，
要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，
可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.
3．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋eq \f(1,2)a＋2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解设y＝|2x－1|＋|x＋2|
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3x－1，x<－2，,－x＋3，－2≤x<\f(1,2)，,3x＋1，x≥\f(1,2).))
当x<－2时，y＝－3x－1>5；
当－2≤xeq \f(5,2)；
当x≥eq \f(1,2)时，y＝3x＋1≥eq \f(5,2)，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为eq \f(5,2).因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋eq \f(1,2)a＋2对任意实数x恒成立，所以eq \f(5,2)≥a2＋eq \f(1,2)a＋2.
解不等式eq \f(5,2)≥a2＋eq \f(1,2)a＋2，得－1≤a≤eq \f(1,2)，故a的取值范围为[－1，eq \f(1,2)].
题型一绝对值不等式的解法
例1 (2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，
f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得eq \f(2,3)当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,3)(2)由题设可得，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1－2a，x<－1，,3x＋1－2a，－1≤x≤a，,－x＋1＋2a，x>a.))
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a－1,3)，0))，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面积为eq \f(2,3)(a＋1)2.
由题设得eq \f(2,3)(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
思维升华解绝对值不等式的基本方法有：
(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
(1)解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集．
(2)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为{x|－eq \f(5,3)解 (1)当x<－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；
当－2≤x<1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；
当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.
综上，不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}．
(2)∵|ax－2|<3，∴－1当a>0时，－eq \f(1,a)当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；
当a<0时，eq \f(5,a)又不等式的解集为{x|－eq \f(5,3)题型二利用绝对值不等式求最值
例2 (1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值．
(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．
解 (1)∵x，y∈R，
∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；(3)利用零点分区间法．
(1)(2016·深圳模拟)若关于x的不等式|2014－x|＋|2015－x|≤d有解，求d的取值范围．
(2)不等式|x＋eq \f(1,x)|≥|a－2|＋siny对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围．
解 (1)∵|2014－x|＋|2015－x|≥|2014－x－2015＋x|＝1，
∴关于x的不等式|2014－x|＋|2015－x|≤d有解时，d≥1.
(2)∵x＋eq \f(1,x)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴|x＋eq \f(1,x)|∈[2，＋∞)，其最小值为2.
又∵siny的最大值为1，
故不等式|x＋eq \f(1,x)|≥|a－2|＋siny恒成立时，
有|a－2|≤1，解得a∈[1,3]．
题型三绝对值不等式的综合应用
例3 (2017·石家庄调研)设函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|，x∈R.
(1)解不等式f(x)<－1；
(2)设函数g(x)＝|x＋a|－4，且g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)∵函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，x<－1，,2－2x，－1≤x≤3，,－4，x>3，))
故由不等式f(x)<－1可得x>3或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－2x<－1，,－1≤x≤3.))
解得x>eq \f(3,2).
(2)函数g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，
即|x＋a|－4≤|x－3|－|x＋1|在x∈[－2,2]上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示．
故当x∈[－2,2]时，若0≤－a≤4时，则函数g(x)在函数f(x)的图象的下方，g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，
求得－4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[－4,0]．
思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．
已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
解 (1)当a＝－3时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋5，x≤2，,1，2当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；
当2当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4.
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．
(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|
⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[－3,0].
1．在实数范围内，求不等式||x－2|－1|≤1的解集．
解由||x－2|－1|≤1得－1≤|x－2|－1≤1，
解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x－2|≥0，,|x－2|≤2))得0≤x≤4.
∴不等式的解集为[0,4]．
2．不等式lg3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
解由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则lg3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，所以要使不等式lg3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.
3．对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．
解因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，
所以|3a－3b|≤3，|a－eq \f(1,2)|≤eq \f(1,2)，
所以|4a－3b＋2|＝|(3a－3b)＋(a－eq \f(1,2))＋eq \f(5,2)|
≤|3a－3b|＋|a－eq \f(1,2)|＋eq \f(5,2)≤3＋eq \f(1,2)＋eq \f(5,2)＝6，
即|4a－3b＋2|的最大值为6，
所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.
4．已知f(x)＝|x－3|，g(x)＝－|x－7|＋m，若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围．
解由题意，可得不等式|x－3|＋|x－7|－m>0恒成立，即(|x－3|＋|x－7|)min>m，由于x轴上的点到点(3,0)和点(7,0)的距离之和的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m<4.
5．(2016·江苏)设a＞0，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－1))＜eq \f(a,3)，|y－2|＜eq \f(a,3)，求证：|2x＋y－4|＜a.
证明由a＞0，|x－1|＜eq \f(a,3)可得|2x－2|＜eq \f(2a,3)，
又|y－2|＜eq \f(a,3)，
∴|2x＋y－4|＝|(2x－2)＋(y－2)|≤|2x－2|＋|y－2|＜eq \f(2a,3)＋eq \f(a,3)＝a.
即|2x＋y－4|＜a.
6．已知关于x的不等式|2x－m|≤1的整数解有且仅有一个值为2，求关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≥m的解集．
解由不等式|2x－m|≤1，可得eq \f(m－1,2)≤x≤eq \f(m＋1,2)，
∵不等式的整数解为2，
∴eq \f(m－1,2)≤2≤eq \f(m＋1,2)，解得3≤m≤5.
再由不等式仅有一个整数解2，∴m＝4.
本题即解不等式|x－1|＋|x－3|≥4，
当x<1时，不等式等价于1－x＋3－x≥4，
解得x≤0，不等式解集为{x|x≤0}．
当1≤x≤3时，不等式等价于x－1＋3－x≥4，
解得x∈∅，不等式解集为∅.
当x>3时，不等式等价于x－1＋x－3≥4，
解得x≥4，不等式解集为{x|x≥4}．
综上，原不等式解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．
7．已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)在图中画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集．
解 (1)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4，x≤－1，,3x－2，－1\f(3,2)，))
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由f(x)的表达式及图象，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝eq \f(1,3)或x＝5，
故f(x)>1的解集为{x|15)).
所以|f(x)|>1的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x<\f(1,3)或15)).
8．已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．
解 (1)f(x)＝|x＋3|－|x－2|≥3，
当x≥2时，有x＋3－(x－2)≥3，解得x≥2；
当x≤－3时，－x－3＋(x－2)≥3，解得x∈∅；
当－3综上，f(x)≥3的解集为{x|x≥1}．
(2)由绝对值不等式的性质可得，
||x＋3|－|x－2||≤|(x＋3)－(x－2)|＝5，
则有－5≤|x＋3|－|x－2|≤5.
若f(x)≥|a－4|有解，则|a－4|≤5，
解得－1≤a≤9.所以a的取值范围是[－1,9]．
9．(2016·全国丙卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，
当x＝eq \f(1,2)时等号成立，
所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)(2)设a>－1，且当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，\f(1,2)))时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
解 (1)当a＝－2时，不等式f(x)设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－5x，x<\f(1,2)，,－x－2，\f(1,2)≤x≤1，,3x－6，x>1，))
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0，∴原不等式的解集是{x|0(2)∵a>－1，则－eq \f(a,2)∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x＋1－a， x<－\f(a,2)，,a＋1，－\f(a,2)≤x<\f(1,2)，,4x＋a－1，x≥\f(1,2).))
当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，\f(1,2)))时，f(x)＝a＋1，
即a＋1≤x＋3在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，\f(1,2)))上恒成立．
∴a＋1≤－eq \f(a,2)＋3，即a≤eq \f(4,3)，
∴a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(4,3))).不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|(－a，a)
∅
∅
|x|>a
(－∞，－a)∪
(a，＋∞)
(－∞，0)∪
(0，＋∞)
R