高考数学一轮复习讲义高考专题突破六

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1．(2017·安阳月考)一射手对同一目标进行4次射击，且射击结果之间互不影响．已知至少命中一次的概率为eq \f(80,81)，则此射手的命中率为( )
A.eq \f(1,9)B.eq \f(1,3)C.eq \f(2,3)D.eq \f(8,9)
答案 C
解析 设此射手未命中目标的概率为p，则1－p4＝eq \f(80,81)，
所以p＝eq \f(1,3)，故1－p＝eq \f(2,3).
2．在可行域内任取一点，其规则如程序框图所示，则能输出数对(x，y)的概率是( )
A.eq \f(π,8)B.eq \f(π,4)C.eq \f(π,6)D.eq \f(π,2)
答案 B
解析 依题意可行域为正方形，输出数对(x，y)形成的图形为图中阴影部分，故所求概率为P＝eq \f(\f(1,4)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2,\f(\r(2),2)·\f(\r(2),2))＝eq \f(π,4).
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )
A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2
答案 C
解析 ∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ>4)＝0.2，
由题意知图象的对称轴为直线x＝2，
P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6，
∴P(0<ξ<2)＝eq \f(1,2)P(0<ξ<4)＝0.3.
4．位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为eq \f(1,3)，向右移动的概率为eq \f(2,3)，则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是( )
A.eq \f(4,243)B.eq \f(8,243)C.eq \f(40,243)D.eq \f(80,243)
答案 D
解析 依题意得，质点P移动五次后位于点(1,0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于Ceq \\al(2,5)·(eq \f(1,3))2·(eq \f(2,3))3＝eq \f(80,243).
5.为了从甲、乙两名运动员中选拔一人参加某次运动会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得到茎叶图如图所示．从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派________(填甲或乙)运动员合适．
答案 甲
解析 根据茎叶图，
可得eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,6)×(78＋79＋81＋84＋93＋95)＝85，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,6)×(75＋80＋83＋85＋92＋95)＝85.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(84－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝eq \f(133,3)，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)×[(75－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝eq \f(139,3).
因为eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)乙，seq \\al(2,甲)题型一 古典概型与几何概型
例1 (1)(2016·山东)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．
(2)将1,2,3,4,5五个数字任意排成一排，且要求1和2相邻，则能排成五位偶数的概率为________．
答案 (1)eq \f(3,4) (2)eq \f(3,8)
解析 (1)由已知得，圆心(5,0)到直线y＝kx的距离小于半径，∴eq \f(|5k|,\r(k2＋1))<3，解得－eq \f(3,4)(2)五个数字任意排成一排，且1和2相邻的排列总数为Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)，能够排成这样的五位偶数的个数为Aeq \\al(3,3)＋Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)，所求概率为eq \f(A\\al(3,3)＋A\\al(2,2)A\\al(3,3),A\\al(2,2)A\\al(4,4))＝eq \f(18,48)＝eq \f(3,8).
思维升华 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．
(1)(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
(2)(2016·商丘一模)如图所示，设eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≤－x2＋1，,x≥0，,y≥0))表示的区域为M，随机往M内投一点P，则点P落在△AOB内的概率是( )
A.eq \f(5,6)B.eq \f(4,5)
C.eq \f(3,4)D.eq \f(2,3)
答案 (1)eq \f(5,6) (2)C
解析 (1)基本事件共有36个．列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中满足点数之和小于10的有30个．故所求概率为P＝eq \f(30,36)＝eq \f(5,6).
(2)抛物线y＝－x2＋1与两坐标轴正半轴围成的区域为M，则M的面积为ʃeq \\al(1,0)(－x2＋1)dx＝(－eq \f(1,3)x3＋x)|eq \\al(1,0)＝eq \f(2,3)，△AOB的面积为eq \f(1,2)，因此点P落在△AOB内的概率是eq \f(3,4).
题型二 求离散型随机变量的均值与方差
例2 (2016·广东东莞一中、松山湖学校联考)某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样，号码分别为1,2,3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1,5,10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．
(1)求员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与均值；
(2)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？
解 (1)由题意知甲抽奖一次，基本事件总数是Ceq \\al(3,10)＝120，奖金ξ的可能取值是0,30,60,240，
∴P(ξ＝240)＝eq \f(1,120)，P(ξ＝60)＝eq \f(8,120)＝eq \f(1,15)，
P(ξ＝30)＝eq \f(7×2＋6×7,120)＝eq \f(7,15)，
P(ξ＝0)＝1－eq \f(1,120)－eq \f(1,15)－eq \f(7,15)＝eq \f(11,24).
故ξ的分布列为
∴E(ξ)＝0×eq \f(11,24)＋30×eq \f(7,15)＋60×eq \f(1,15)＋240×eq \f(1,120)＝20.
(2)由(1)可得乙抽奖一次中奖的概率是1－eq \f(11,24)＝eq \f(13,24)，四次抽奖是相互独立的，
∴中奖次数η～B(4，eq \f(13,24))，
∴D(η)＝4×eq \f(13,24)×eq \f(11,24)＝eq \f(143,144).
思维升华 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应．
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝eq \f(2＋3,50)＝eq \f(1,10).
(2)依题意得，X1的分布列为
X2的分布列为
(3)由(2)得E(X1)＝1×eq \f(1,25)＋2×eq \f(3,50)＋3×eq \f(9,10)
＝eq \f(143,50)＝2.86，
E(X2)＝1.8×eq \f(1,10)＋2.9×eq \f(9,10)＝2.79.
因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．
题型三 概率与统计的综合应用
例3 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的均值．
解 (1)当X∈[100,130)时，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.
当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.
所以T＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(800X－39000，100≤X<130，,65000，130≤X≤150.))
(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
所以E(T)＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.
思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．
(2016·衡阳模拟)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中实数a的值；
(2)若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
解 (1)由已知，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1，解得a＝0.03.
(2)根据频率分布直方图，可知成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.010)＝0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544.
(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A，B；成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个，故所求概率P(M)＝eq \f(7,15).
题型四 概率与统计案例的综合应用
例4 (2016·湖北武汉华中师大一附中期末)某高中采取分层抽样的方法从应届高二学生中按照性别抽出20名学生作为样本，其选报文科、理科的情况如下表所示.
(1)若在该样本中从报考文科的男生和报考理科的女生中随机地选出3人召开座谈会，试求3人中既有男生也有女生的概率；
(2)用独立性检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高二学生选报文理科与性别有关？
参考公式：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d)
解 (1)从报考文科的2名男生，报考理科的3名女生中任取3人，有Ceq \\al(3,5)＝10(种)，其中全是女生的情况只有1种，∴3人中既有男生也有女生的概率为1－eq \f(1,10)＝eq \f(9,10).
(2)K2＝eq \f(20×2×3－10×52,12×8×13×7)≈4.432>3.841，可知有95%以上的把握认为该中学的高二学生选报文理科与性别有关．
思维升华 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．
电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料是否可以认为“体育迷”与性别有关？
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、均值E(X)和方差D(X)．
附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).
解 (1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100×(10×0.020＋10×0.005)＝25，
“非体育迷”人数为75，从而2×2列联表如下：
将2×2列联表的数据代入公式计算：
K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)
＝eq \f(100×30×10－45×152,45×55×75×25)
＝eq \f(100,33)≈3.030.
因为2.706<3.030<3.841，
所以有90%的把握认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为eq \f(1,4).由题意，X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,4)))，从而X的分布列为
E(X)＝np＝3×eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)，
D(X)＝np(1－p)＝3×eq \f(1,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(9,16).
1．甲、乙两人进行两种游戏，两种游戏规则如下：
游戏Ⅰ：口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1,2,3,4,5，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
游戏Ⅱ：口袋中有质地、大小完全相同的6个球，其中4个白球、2个红球，由裁判有放回地摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲赢，摸出两球不同色算乙赢．
(1)求游戏Ⅰ中甲赢的概率；
(2)求游戏Ⅱ中乙赢的概率，并比较这两种游戏哪种游戏更公平，试说明理由．
解 (1)∵游戏Ⅰ中有放回地依次摸出两球的基本事件有5×5＝25(个)，其中甲赢有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(2,2)，(2,4)，(4,4)，(4,2)，共13个基本事件，∴游戏Ⅰ中甲赢的概率为P＝eq \f(13,25).
(2)设4个白球为a，b，c，d,2个红球为A，B，则游戏Ⅱ中有放回地依次摸出两球，基本事件有6×6＝36(个)，其中乙赢有(a，A)，(b，A)，(c，A)，(d，A)，(a，B)，(b，B)，(c，B)，(d，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，共16个基本事件，
∴游戏Ⅱ中乙赢的概率为P′＝eq \f(16,36)＝eq \f(4,9).
∵|eq \f(13,25)－eq \f(1,2)|<|eq \f(4,9)－eq \f(1,2)|，∴游戏Ⅰ更公平．
2．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
(1)根据茎叶图计算样本平均数；
(2)日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
解 (1)样本平均数为
eq \f(17＋19＋20＋21＋25＋30,6)＝eq \f(132,6)＝22.
(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，
故推断该车间12名工人中有12×eq \f(1,3)＝4(名)优秀工人．
(3)设事件A：“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”，则P(A)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(1,8),C\\al(2,12))＝eq \f(16,33).
3．某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下：
(1)请画出茎叶图．如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)；
(2)经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．
解 (1)甲、乙两人10次训练的成绩的茎叶图如图：
从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，乙成绩的稳定性更好，所以选派乙同学代表班级参加比赛更好．
(2)设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y，
则|x－y|<0.8，
得x－0.8如图，阴影部分面积即为3×3－2.2×2.2＝4.16，
则P(|x－y|<0.8)＝P(x－0.8＝eq \f(4.16,3×3)＝eq \f(104,225).
*4.一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：
(1)得60分的概率；
(2)所得分数X的分布列和均值．
解 (1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件B，“有一道题不理解题意”选对为事件C，
∴P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,3)，P(C)＝eq \f(1,4)，
∴得60分的概率为P＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,48).
(2)X可能的取值为40,45,50,55,60.
P(X＝40)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,8)；
P(X＝45)＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(17,48)；
P(X＝50)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＋Ceq \\al(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(3,4)＋Ceq \\al(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(17,48)；
P(X＝55)＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(7,48)；
P(X＝60)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,48).
X的分布列为
E(X)＝40×eq \f(1,8)＋45×eq \f(17,48)＋50×eq \f(17,48)＋55×eq \f(7,48)＋60×eq \f(1,48)
＝eq \f(575,12).ξ
0
30
60
240
P
eq \f(11,24)
eq \f(7,15)
eq \f(1,15)
eq \f(1,120)
品牌
甲
乙
首次出现故障时间x(年)
01x>2
0x>2
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
X1
1
2
3
P
eq \f(1,25)
eq \f(3,50)
eq \f(9,10)
X2
1.8
2.9
P
eq \f(1,10)
eq \f(9,10)
T
45000
53000
61000
65000
P
0.1
0.2
0.3
0.4
性别
科目
男
女
文科
2
5
理科
10
3
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
非体育迷
体育迷
合计
男
女
10
55
合计
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
X
0
1
2
3
P
eq \f(27,64)
eq \f(27,64)
eq \f(9,64)
eq \f(1,64)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
11.6
12.2
13.2
13.9
14.0
11.5
13.1
14.5
11.7
14.3
乙
12.3
13.3
14.3
11.7
12.0
12.8
13.2
13.8
14.1
12.5
X
40
45
50
55
60
P
eq \f(1,8)
eq \f(17,48)
eq \f(17,48)
eq \f(7,48)
eq \f(1,48)