高考数学一轮复习讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理

这是一份高考数学一轮复习讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理，共17页。学案主要包含了知识拓展，思考辨析等内容，欢迎下载使用。


1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
3.三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
【知识拓展】
1．三角形内角和定理：
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2).
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)；(4)cs eq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；
b＝acs C＋ccs A；
c＝bcs A＋acs B.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × )
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.( √ )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × )
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．( × )
(5)在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(a＋b－c,sin A＋sin B－sin C).( √ )
(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )
1．(2016·天津)在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，C＝120°，则AC等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cs 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.
2．(教材改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )
A．5eq \r(2)B．10eq \r(2)
C.eq \f(10\r(6),3)D．5eq \r(6)
答案 C
解析 由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，
由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，即eq \f(10,\f(\r(3),2))＝eq \f(c,\f(\r(2),2))，
∴c＝eq \f(10\r(6),3).
3．在△ABC中，若sin B·sin C＝cs2eq \f(A,2)，且sin2B＋sin2C＝sin2A，则△ABC是( )
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
答案 D
解析 sin B·sin C＝eq \f(1＋cs A,2)，
∴2sin B·sin C＝1＋cs A＝1－cs(B＋C)，
∴cs(B－C)＝1，
∵B、C为三角形的内角，∴B＝C，
又sin2B＋sin2C＝sin2A，∴b2＋c2＝a2，
综上，△ABC为等腰直角三角形．
4．(2016·辽宁五校联考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝.
答案 eq \f(2π,3)
解析 因为3sin A＝5sin B，
所以由正弦定理可得3a＝5b.
因为b＋c＝2a，所以c＝2a－eq \f(3,5)a＝eq \f(7,5)a.
令a＝5，b＝3，c＝7，
则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcs C，
得49＝25＋9－2×3×5cs C，
解得cs C＝－eq \f(1,2)，所以C＝eq \f(2π,3).
5．(2016·济南模拟)在△ABC中，a＝3eq \r(2)，b＝2eq \r(3)，cs C＝eq \f(1,3)，则△ABC的面积为．
答案 4eq \r(3)
解析 ∵cs C＝eq \f(1,3)，0∴sin C＝eq \f(2\r(2),3)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C
＝eq \f(1,2)×3eq \r(2)×2eq \r(3)×eq \f(2\r(2),3)＝4eq \r(3).
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1 (1)(2015·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝eq \r(3)，sin B＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，则b＝.
答案 1
解析 因为sin B＝eq \f(1,2)且B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,6)或B＝eq \f(5π,6).
又C＝eq \f(π,6)，B＋C<π，所以B＝eq \f(π,6)，A＝π－B－C＝eq \f(2π,3).
又a＝eq \r(3)，由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，即eq \f(\r(3),sin \f(2π,3))＝eq \f(b,\f(1,2))，
解得b＝1.
(2)(2016·四川)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且eq \f(cs A,a)＋eq \f(cs B,b)＝eq \f(sin C,c).
①证明：sin Asin B＝sin C；
②若b2＋c2－a2＝eq \f(6,5)bc，求tan B.
①证明 根据正弦定理，可设
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝k(k>0)，
则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，
代入eq \f(cs A,a)＋eq \f(cs B,b)＝eq \f(sin C,c)中，有
eq \f(cs A,ksin A)＋eq \f(cs B,ksin B)＝eq \f(sin C,ksin C)，变形可得
sin Asin B＝sin Acs B＋cs Asin B＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C．所以sin Asin B＝sin C.
②解 由已知，b2＋c2－a2＝eq \f(6,5)bc，根据余弦定理，有
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(3,5).
所以sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(4,5).
由(1)知，sin Asin B＝sin Acs B＋cs Asin B，
所以eq \f(4,5)sin B＝eq \f(4,5)cs B＋eq \f(3,5)sin B.
故tan B＝eq \f(sin B,cs B)＝4.
思维升华 应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用公式a＝eq \f(bsin A,sin B)，b＝eq \f(asin B,sin A)，c＝eq \f(asin C,sin A)或其他相应变形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝eq \f(asin B,b)，sin B＝eq \f(bsin A,a)，sin C＝eq \f(csin A,a)或其他相应变形公式求解．
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．
(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．
(1)△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，asin Asin B＋bcs2A＝eq \r(2)a，则eq \f(b,a)等于( )
A．2eq \r(3)B．2eq \r(2)
C.eq \r(3)D.eq \r(2)
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cs Asin C，则b等于( )
A．6 B．4
C．2 D．1
答案 (1)D (2)C
解析 (1)(边化角)
由asin Asin B＋bcs2A＝eq \r(2)a及正弦定理，得
sin Asin Asin B＋sin Bcs2A＝eq \r(2)sin A，
即sin B＝eq \r(2)sin A，所以eq \f(b,a)＝eq \f(sin B,sin A)＝eq \r(2).故选D.
(2)(角化边)
由题意，得sin Acs C－cs Asin C＝2cs Asin C，
即sin Acs C＝3cs Asin C，
由正弦、余弦定理，得
a·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝3c·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
整理得2(a2－c2)＝b2，①
又a2－c2＝b，②
联立①②得b＝2，故选C.
题型二 和三角形面积有关的问题
例2 (2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acs B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝eq \f(a2,4)，求角A的大小．
(1)证明 由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acs B，故2sin Acs B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acs B＋cs Asin B，
于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)解 由S＝eq \f(a2,4)，得eq \f(1,2)absin C＝eq \f(a2,4)，
故有sin Bsin C＝eq \f(1,2)sin A＝eq \f(1,2)sin 2B＝sin Bcs B，
由sin B≠0，得sin C＝cs B.
又B，C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,2)±B.
当B＋C＝eq \f(π,2)时，A＝eq \f(π,2)；
当C－B＝eq \f(π,2)时，A＝eq \f(π,4).
综上，A＝eq \f(π,2)或A＝eq \f(π,4).
思维升华 (1)对于面积公式S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积是( )
A．3 B.eq \f(9\r(3),2)
C.eq \f(3\r(3),2)D．3eq \r(3)
答案 C
解析 ∵c2＝(a－b)2＋6，
∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝eq \f(π,3)，
∴c2＝a2＋b2－2abcs eq \f(π,3)＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×6×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 判断三角形的形状
例3 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq \f(c,b)A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
答案 (1)A (2)B
解析 (1)由eq \f(c,b)所以sin C即sin(A＋B)所以sin Acs B<0，
因为在三角形中sin A>0，所以cs B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
(2)由正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝eq \f(π,2)，∴△ABC为直角三角形．
引申探究
1．例3(2)中，若将条件变为2sin Acs B＝sin C，判断△ABC的形状．
解 ∵2sin Acs B＝sin C＝sin(A＋B)，
∴2sin Acs B＝sin Acs B＋cs Bsin A，
∴sin(A－B)＝0，
又A，B为△ABC的内角．
∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．
2．例3(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cs Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．
解 ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，
又0又由2cs Asin B＝sin C得sin(B－A)＝0，∴A＝B，
故△ABC为等边三角形．
命题点2 求解几何计算问题
例4 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求eq \f(sin B,sin C)；
(2)若AD＝1，DC＝eq \f(\r(2),2)，求BD和AC的长．
解 (1)S△ABD＝eq \f(1,2)AB·ADsin∠BAD，
S△ADC＝eq \f(1,2)AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，
所以AB＝2AC.
由正弦定理可得eq \f(sin B,sin C)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(1,2).
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝eq \r(2).
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcs∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcs∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，
又由(1)知AB＝2AC，所以解得AC＝1.
思维升华 (1)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
(2)求解几何计算问题要注意
①根据已知的边角画出图形并在图中标示；
②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．
(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若c－acs B＝(2a－b)cs A，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
(2)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是．
答案 (1)D (2)(eq \r(6)－eq \r(2)，eq \r(6)＋eq \r(2))
解析 (1)∵c－acs B＝(2a－b)cs A，
C＝π－(A＋B)，
∴由正弦定理得sin C－sin Acs B
＝2sin Acs A－sin Bcs A，
∴sin Acs B＋cs Asin B－sin Acs B
＝2sin Acs A－sin Bcs A，
∴cs A(sin B－sin A)＝0，
∴cs A＝0或sin B＝sin A，
∴A＝eq \f(π,2)或B＝A或B＝π－A(舍去)，
∴△ABC为等腰或直角三角形．
(2)如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，
∴BF＝eq \r(22＋22－2×2×2cs 30°)＝eq \r(6)－eq \r(2).
在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，
BE＝CE，BC＝2，eq \f(BE,sin 75°)＝eq \f(2,sin 30°)，
∴BE＝eq \f(2,\f(1,2))×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \r(6)＋eq \r(2).
∴eq \r(6)－eq \r(2)二审结论会转换
典例 (12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－c＝eq \f(\r(6),6)b，sin B＝eq \r(6)sin C.
(1)求cs A的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,6)))的值．
(1)eq \x(求cs A)eq \(―――――→,\s\up7(根据余弦定理))eq \x(求三边a，b，c的长或长度问题)
eq \x(利用正弦定理将sin B＝\r(6)sin C化为b＝\r(6)c)
(2)eq \x(求cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,6))))―→eq \x(求cs 2A，sin 2A)―→
eq \x(求sin A，cs A)eq \(―――――→,\s\up7(第1问已求),\s\d5(出cs A))eq \x(根据同角关系求sin A)
规范解答
解 (1)在△ABC中，由eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)及sin B＝eq \r(6)sin C，
可得b＝eq \r(6)c，[2分]
又由a－c＝eq \f(\r(6),6)b，有a＝2c，[4分]
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(6c2＋c2－4c2,2\r(6)c2)＝eq \f(\r(6),4).[7分]
(2)在△ABC中，由cs A＝eq \f(\r(6),4)，
可得sin A＝eq \f(\r(10),4).[8分]
于是，cs 2A＝2cs2A－1＝－eq \f(1,4)，[9分]
sin 2A＝2sin A·cs A＝eq \f(\r(15),4).[10分]
所以，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,6)))＝cs 2Acs eq \f(π,6)＋sin 2Asin eq \f(π,6)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(15),4)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(15)－\r(3),8).[12分]
1．在△ABC中，C＝60°，AB＝eq \r(3)，BC＝eq \r(2)，那么A等于( )
A．135° B．105°
C．45° D．75°
答案 C
解析 由正弦定理知eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AB,sin C)，即eq \f(\r(2),sin A)＝eq \f(\r(3),sin 60°)，
所以sin A＝eq \f(\r(2),2)，又由题知，BC2．(2016·全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝eq \r(5)，c＝2，cs A＝eq \f(2,3)，则b等于( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D．3
答案 D
解析 由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×eq \f(2,3)，解得b＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＝－\f(1,3)舍去))，故选D.
3．(2016·西安模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，且sin2B＝sin2C，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
答案 D
解析 由bcs C＋ccs B＝asin A，
得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin A＝sin2A，在三角形中sin A≠0，
∴sin A＝1，∴A＝90°，
由sin2B＝sin2C，知b＝c，
综上可知△ABC为等腰直角三角形．
4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
答案 C
解析 由正弦定理得eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∴sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq \r(3)>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(c－b,c－a)＝eq \f(sin A,sin C＋sin B)，则B等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(3π,4)
答案 C
解析 根据正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，
得eq \f(c－b,c－a)＝eq \f(sin A,sin C＋sin B)＝eq \f(a,c＋b)，
即a2＋c2－b2＝ac，
得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,2)，
故B＝eq \f(π,3)，故选C.
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(π,4)，则△ABC的面积为( )
A．2eq \r(3)＋2 B.eq \r(3)＋1
C．2eq \r(3)－2 D.eq \r(3)－1
答案 B
解析 ∵b＝2，B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(π,4).
由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
得c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(2×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝2eq \r(2)，
A＝π－(eq \f(π,6)＋eq \f(π,4))＝eq \f(7,12)π，
∴sin A＝sin(eq \f(π,4)＋eq \f(π,3))＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋cs eq \f(π,4)sin eq \f(π,3)
＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
则S△ABC＝eq \f(1,2)bc·sin A＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(2)×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \r(3)＋1.
7．(2016·全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs A＝eq \f(4,5)，cs C＝eq \f(5,13)，a＝1，则b＝.
答案 eq \f(21,13)
解析 在△ABC中，由cs A＝eq \f(4,5)，cs C＝eq \f(5,13)，可得sin A＝eq \f(3,5)，sin C＝eq \f(12,13)，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs A·sin C＝eq \f(63,65)，由正弦定理得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(21,13).
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝eq \r(3)ac，则角B的值为．
答案 eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
解析 由余弦定理，得eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝cs B，
结合已知等式得cs B·tan B＝eq \f(\r(3),2)，
∴sin B＝eq \f(\r(3),2)，∴B＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3).
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3eq \r(15)，b－c＝2，cs A＝－eq \f(1,4)，则a的值为．
答案 8
解析 ∵cs A＝－eq \f(1,4)，0＜A＜π，∴sin A＝eq \f(\r(15),4)，
S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)bc×eq \f(\r(15),4)＝3eq \r(15)，∴bc＝24，
又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A
＝52－2×24×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝64，
∴a＝8.
*10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝eq \r(3)bcs A．若a＝4，则△ABC周长的最大值为．
答案 12
解析 由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
可将asin B＝eq \r(3)bcs A转化为sin Asin B＝eq \r(3)sin Bcs A.
又在△ABC中，sin B>0，∴sin A＝eq \r(3)cs A，
即tan A＝eq \r(3).
∵0由余弦定理得a2＝16＝b2＋c2－2bccs A
＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3(eq \f(b＋c,2))2，
则(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(当且仅当b＝c＝4时等号成立)，
∴△ABC周长＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，即最大值为12.
11．(2015·湖南)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A.
(1)证明：sin B＝cs A；
(2)若sin C－sin Acs B＝eq \f(3,4)，且B为钝角，求A，B，C.
(1)证明 由正弦定理知eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，
∴a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，代入a＝btan A得
sin A＝sin B·eq \f(sin A,cs A)，又∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，
∴1＝eq \f(sin B,cs A)，即sin B＝cs A.
(2)解 由sin C－sin Acs B＝eq \f(3,4)知，
sin(A＋B)－sin Acs B＝eq \f(3,4)，∴cs Asin B＝eq \f(3,4).
由(1)知，sin B＝cs A，∴cs2A＝eq \f(3,4)，由于B是钝角，
故A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs A＝eq \f(\r(3),2)，A＝eq \f(π,6).
sin B＝eq \f(\r(3),2)，B＝eq \f(2π,3)，∴C＝π－(A＋B)＝eq \f(π,6).
12．(2015·陕西)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，eq \r(3)b)与n＝(cs A，sin B)平行．
(1)求A；
(2)若a＝eq \r(7)，b＝2，求△ABC的面积．
解 (1)因为m∥n，所以asin B－eq \r(3)bcs A＝0，
由正弦定理，得sin Asin B－eq \r(3)sin Bcs A＝0，
又sin B≠0，从而tan A＝eq \r(3)，
由于0＜A＜π，所以A＝eq \f(π,3).
(2)方法一 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccs A，
而由a＝eq \r(7)，b＝2，A＝eq \f(π,3)，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，
因为c＞0，所以c＝3，
故△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(3\r(3),2).
方法二 由正弦定理，得eq \f(\r(7),sin \f(π,3))＝eq \f(2,sin B)，
从而sin B＝eq \f(\r(21),7)，
又由a＞b，知A＞B，所以cs B＝eq \f(2\r(7),7)，
故sin C＝sin(A＋B)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))
＝sin Bcs eq \f(π,3)＋cs Bsin eq \f(π,3)＝eq \f(3\r(21),14).
所以△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(3\r(3),2).
*13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－eq \r(3))bc，sin Asin B＝cs2eq \f(C,2)，BC边上的中线AM的长为eq \r(7).
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面积．
解 (1)由a2－(b－c)2＝(2－eq \r(3))bc，
得a2－b2－c2＝－eq \r(3)bc，
∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3),2)，
又0＜A＜π，∴A＝eq \f(π,6).
由sin Asin B＝cs2eq \f(C,2)，
得eq \f(1,2)sin B＝eq \f(1＋cs C,2)，
即sin B＝1＋cs C，
则cs C＜0，即C为钝角，
∴B为锐角，且B＋C＝eq \f(5π,6)，
则sin(eq \f(5π,6)－C)＝1＋cs C，化简得cs(C＋eq \f(π,3))＝－1，
解得C＝eq \f(2π,3)，∴B＝eq \f(π,6).
(2)由(1)知，a＝b，由余弦定理得AM2＝b2＋(eq \f(a,2))2－2b·eq \f(a,2)·cs C＝b2＋eq \f(b2,4)＋eq \f(b2,2)＝(eq \r(7))2，解得b＝2，
故S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×2×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
变形
(1)a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin Aa≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解