高考数学一轮复习讲义第4章第5节第1课时简单的三角恒等变化

这是一份高考数学一轮复习讲义第4章第5节第1课时简单的三角恒等变化，共13页。学案主要包含了知识拓展，思考辨析等内容，欢迎下载使用。
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sin αsin β，(C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin αsin β，(C(α＋β))sin(α－β)＝sin αcosβ－cosαsin β，(S(α－β))sin(α＋β)＝sin αcosβ＋cosαsin β，(S(α＋β))tan(α－β)＝，(T(α－β))tan(α＋β)＝.(T(α＋β))2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcosα；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝. 【知识拓展】1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.3．辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝，cosφ＝. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)(2)在锐角△ABC中，sin AsinB和cosAcosB大小不确定．(　×　)(3)若α＋β＝45°，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β.(　√　)(4)对任意角α都有1＋sin α＝(sin ＋cos)2.(　√　)(5)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(　×　)(6)在非直角三角形中，tan A＋tan B＋tan C＝tan AtanBtanC．(　√　)1．(教材改编)sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°的值是(　　)A. B.C. D．－答案　A解析　sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°＝sin(18°＋27°)＝sin 45°＝.2．化简等于(　　)A．1  B.  C.  D．2答案　C解析　原式＝＝＝＝.3．若＝，则tan 2α等于(　　)A．－  B.  C．－  D.答案　B解析　由＝，等式左边分子、分母同除cosα，得＝，解得tan α＝－3，则tan 2α＝＝.4．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.答案　解析　∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＝－tan 20°tan 40°，∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.5．(2016·浙江)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝，b＝.答案　　1解析　∵2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋1＋sin 2x＝＋1＝sin＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，∴A＝，b＝1.第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一　和差公式的直接应用例1　(1)(2016·广州模拟)已知sin α＝，α∈(，π)，则＝.(2)在△ABC中，若tan AtanB＝tan A＋tan B＋1，则cosC的值为(　　)A．－ B.C. D．－答案　(1)－　(2)B解析　(1)＝＝cosα－sin α，∵sin α＝，α∈(，π)，∴cosα＝－，∴原式＝－.(2)由tan AtanB＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cosC＝.思维升华　(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．　(1)(2016·全国丙卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于(　　)A.  B.  C．1  D.(2)计算的值为(　　)A．－ B.C. D．－答案　(1)A　(2)B解析　(1)tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝.(2)＝＝＝＝.题型二　和差公式的综合应用命题点1　角的变换例2　(1)设α、β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于(　　)A. B.C.或 D.或(2)已知cos(α－)＋sin α＝，则sin(α＋)的值是．答案　(1)A　(2)－解析　(1)依题意得sin α＝＝，cos(α＋β)＝±＝±.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β)．因为>>－，所以cos(α＋β)＝－.于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.(2)∵cos(α－)＋sin α＝，∴cosα＋sin α＝，(cosα＋sin α)＝，sin(＋α)＝，∴sin(＋α)＝，∴sin(α＋)＝－sin(＋α)＝－.思维升华　(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝(α＋)－(＋β)等．命题点2　三角函数式的变形例3　(1)化简： (0<θ<π)；(2)求值：－sin 10°(－tan 5°)．解　(1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos>0，∴＝＝2cos .又(1＋sin θ＋cosθ)(sin －cos)＝(2sin cos＋2cos2)(sin －cos)＝2cos (sin2－cos2)＝－2cos cosθ.故原式＝＝－cosθ.(2)原式＝－sin 10°(－)＝－sin 10°·＝－sin 10°·＝－2cos 10°＝＝＝＝＝.引申探究化简： (0<θ<π)．解　∵0<<，∴＝2sin ，又1＋sin θ－cosθ＝2sin cos＋2sin2＝2sin (sin ＋cos)∴原式＝＝－cosθ.　(1)(2016·宿州模拟)若sin(＋α)＝，则cos(－2α)等于(　　)A. B．－C. D．－(2)(2016·青岛模拟)化简(tan α＋)·sin 2α－2cos2α等于(　　)A．cos2α B．sin2αC．cos 2α D．－cos 2α(3)计算：sin 50°(1＋tan 10°)＝.答案　(1)D　(2)D　(3)1解析　(1)∵sin(＋α)＝，∴cos(－α)＝，∴cos(－2α)＝cos 2(－α)＝2×－1＝－.(2)原式＝·sin 2α－2cos2α＝1－2cos2α＝－cos 2α.(3)sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋)＝sin 50°×＝sin 50°×＝＝＝＝1.  8．利用联系的观点进行角的变换 典例　(1)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为．(2)若tan α＝2tan，则等于(　　)A．1  B．2  C．3  D．4思想方法指导　三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有＝(α－)－(－β)；α＝(α－β)＋β；α＋＝(α＋)－；15°＝45°－30°等．解析　(1)∵α为锐角且cos(α＋)＝>0，∴α＋∈(，)，∴sin(α＋)＝.∴sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]＝sin 2(α＋)cos－cos 2(α＋)sin ＝sin(α＋)cos(α＋)－[2cos2(α＋)－1]＝××－[2×()2－1]＝－＝.(2)＝＝＝＝＝＝＝3，故选C.答案　(1)　(2)C1．(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　)A．－  B.  C．－  D.答案　D解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.2．(2016·全国甲卷)若cos＝，则sin 2α等于(　　)A.  B.  C．－  D．－答案　D解析　因为sin 2α＝cos＝2cos2－1，又因为cos＝，所以sin 2α＝2×－1＝－，故选D.3．已知sin 2α＝，则cos2等于(　　)A. B.C. D.答案　A解析　因为cos2＝＝＝，所以cos2＝＝＝，故选A.4．(2016·东北三省三校联考)已知sin α＋cosα＝，则sin2(－α)等于(　　)A. B.C. D.答案　B解析　由sin α＋cosα＝，两边平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－，所以sin2(－α)＝＝＝＝.5.的值是(　　)A. B.C. D.答案　C解析　原式＝＝＝＝.6．(2016·江西九校联考)已知锐角α，β满足sin α－cosα＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是(　　)A．α<<β B．β<<αC.<α<β D.<β<α答案　B解析　∵α为锐角，sin α－cosα＝>0，∴α>.又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，∴tan(α＋β)＝＝，∴α＋β＝，又α>，∴β<<α.7．化简·＝.答案　解析　原式＝tan(90°－2α)·＝··＝··＝.8．已知tan(＋θ)＝3，则sin 2θ－2cos2θ的值为．答案　－解析　∵tan(＋θ)＝3，∴＝3，解得tan θ＝.∵sin 2θ－2cos2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1＝－－1＝－－1＝－－1＝－.9．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin(β＋)＝.答案　解析　依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.又β是第三象限角，因此有cosβ＝－.sin(β＋)＝－sin(β＋)＝－sin βcos－cosβsin ＝.*10.(2016·宝鸡模拟)已知cos(＋θ)cos(－θ)＝，则sin4θ＋cos4θ的值为．答案　解析　因为cos(＋θ)cos(－θ)＝(cosθ－sin θ)(cosθ＋sin θ)＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝.所以cos 2θ＝.故sin4θ＋cos4θ＝()2＋()2＝＋＝.11．已知α∈(0，)，tan α＝，求tan 2α和sin(2α＋)的值．解　∵tan α＝，∴tan 2α＝＝＝，且＝，即cosα＝2sin α，又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，而α∈(0，)，∴sin α＝，cosα＝.∴sin 2α＝2sin αcosα＝2××＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝，∴sin(2α＋)＝sin 2αcos＋cos 2αsin ＝×＋×＝.12．已知α∈，且sin ＋cos＝.(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cosβ的值．解　(1)因为sin ＋cos＝，两边同时平方，得sin α＝.又<α<π，所以cosα＝－.(2)因为<α<π，<β<π，所以－π<－β<－，故－<α－β<.又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－×＋×＝－.*13.(2017·合肥质检)已知cos(＋α)cos(－α)＝－，α∈(，)．(1)求sin 2α的值；(2)求tan α－的值．解　(1)cos(＋α)·cos(－α)＝cos(＋α)·sin(＋α)＝sin(2α＋)＝－，即sin(2α＋)＝－.∵α∈(，)，∴2α＋∈(π，)，∴cos(2α＋)＝－，∴sin 2α＝sin[(2α＋)－]＝sin(2α＋)cos－cos(2α＋)sin ＝.(2)∵α∈(，)，∴2α∈(，π)，又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.∴tan α－＝－＝＝＝－2×＝2.